А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Коваріантний тензор - друге - ранг
Коваріантний тензор другого рангу § аь є метричним тензором простору конфігурацій. Висновок про можливість введення такої метрики випливає з розгляду кінетичної енергії точки в тривимірному просторі.
АТП називають коваріантним тензором другого рангу.
Так як git є коваріантним тензором другого рангу, а диференціали dx контраваріантних, то значення ds не залежить від вибору локальних координат.
Як вже зазначалося вище, кожен коваріантний тензор другого рангу може бути представлений) у вигляді суми тензорів типу АцВу. Тому цілком достатньо обмежитися виведенням формули коваріантною похідною для такого спеціального тензора.
Величини § ц є компоненти коваріантного тензора другого рангу, який називається метричним тензором. Аналогічно, (g 1) - контраваріантний метричний тензор, (g (j) - кон-траковарйантний метричний тензор і (g /1) - коконтраваріантний метричний тензор. Величини Vjtf /t - компоненти коваріантного тензора другого рангу. Величини Yrs є, очевидно, симетричними компонентами коваріантного тензора другого рангу, вони утворюють тензор деформації.
З (3.2) видно, що enfc є компонентами симетричного коваріантного тензора другого рангу, який називається тензором деформації. Коли все єп 0 для всіх точок, то ds ds і тіло не деформується.
Така таблиця, певна в будь-який координатної системі з вимоги інваріантності вираження (45), називається коваріантним тензором другого рангу.
Помітивши, що ds2 є інваріантом, робимо висновок (див. § 24), що gik - компоненти симетричного коваріантного тензора другого рангу.
Так як, крім того, gv gvp, то на підставі сказаного в останньому параграфі робимо висновок, що g є коваріантний тензор другого рангу.
Інша коефіцієнтним правило говорить: якщо vk - довільний контраваріантний вектор, а ит - коваріантний і якщо ит - Gmkvk, то Gmk - коваріантний тензор другого рангу.
Перш за все, виходячи з ролі яку відіграє ds в законі руху матеріальної точки, ми можемо зробити висновок, що інтервал ds повинен бути абсолютним інваріантом (скаляром); звідси випливає, що величини g утворюють коваріантний тензор другого рангу), який ми будемо називати коваріантним фундаментальним тензором. Останній визначає гравітаційне поле.
Тоді враховуючи, що ит і wn - довільні вектори, в силу теореми виду 1 робимо висновок, що АТП є коваріантним тензором другого рангу.
Тоді враховуючи, що vm і wn - довільні вектори, в силу теореми виду 1 робимо висновок, що АТП є коваріантним тензором другого рангу.
З першого коефіцієнтного правила і з того, що dxP - контраваріантний вектор, слід, що gnpdx - коваріантний вектор. З другого коефіцієнтного правила і з того, що dx - контраваріантний вектор, випливає, що gnp повинен бути коваріантним тензором другого рангу. Таким чином, висловлене твердження доведено.
АТП називають коваріантним тензором другого рангу.
Так як git є коваріантним тензором другого рангу, а диференціали dx контраваріантних, то значення ds не залежить від вибору локальних координат.
Як вже зазначалося вище, кожен коваріантний тензор другого рангу може бути представлений) у вигляді суми тензорів типу АцВу. Тому цілком достатньо обмежитися виведенням формули коваріантною похідною для такого спеціального тензора.
Величини § ц є компоненти коваріантного тензора другого рангу, який називається метричним тензором. Аналогічно, (g 1) - контраваріантний метричний тензор, (g (j) - кон-траковарйантний метричний тензор і (g /1) - коконтраваріантний метричний тензор. Величини Vjtf /t - компоненти коваріантного тензора другого рангу. Величини Yrs є, очевидно, симетричними компонентами коваріантного тензора другого рангу, вони утворюють тензор деформації.
З (3.2) видно, що enfc є компонентами симетричного коваріантного тензора другого рангу, який називається тензором деформації. Коли все єп 0 для всіх точок, то ds ds і тіло не деформується.
Така таблиця, певна в будь-який координатної системі з вимоги інваріантності вираження (45), називається коваріантним тензором другого рангу.
Помітивши, що ds2 є інваріантом, робимо висновок (див. § 24), що gik - компоненти симетричного коваріантного тензора другого рангу.
Так як, крім того, gv gvp, то на підставі сказаного в останньому параграфі робимо висновок, що g є коваріантний тензор другого рангу.
Інша коефіцієнтним правило говорить: якщо vk - довільний контраваріантний вектор, а ит - коваріантний і якщо ит - Gmkvk, то Gmk - коваріантний тензор другого рангу.
Перш за все, виходячи з ролі яку відіграє ds в законі руху матеріальної точки, ми можемо зробити висновок, що інтервал ds повинен бути абсолютним інваріантом (скаляром); звідси випливає, що величини g утворюють коваріантний тензор другого рангу), який ми будемо називати коваріантним фундаментальним тензором. Останній визначає гравітаційне поле.
Тоді враховуючи, що ит і wn - довільні вектори, в силу теореми виду 1 робимо висновок, що АТП є коваріантним тензором другого рангу.
Тоді враховуючи, що vm і wn - довільні вектори, в силу теореми виду 1 робимо висновок, що АТП є коваріантним тензором другого рангу.
З першого коефіцієнтного правила і з того, що dxP - контраваріантний вектор, слід, що gnpdx - коваріантний вектор. З другого коефіцієнтного правила і з того, що dx - контраваріантний вектор, випливає, що gnp повинен бути коваріантним тензором другого рангу. Таким чином, висловлене твердження доведено.