А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Коваріантний тензор - друге - ранг

Коваріантний тензор другого рангу § аь є метричним тензором простору конфігурацій. Висновок про можливість введення такої метрики випливає з розгляду кінетичної енергії точки в тривимірному просторі.

АТП називають коваріантним тензором другого рангу.

Так як git є коваріантним тензором другого рангу, а диференціали dx контраваріантних, то значення ds не залежить від вибору локальних координат.

Як вже зазначалося вище, кожен коваріантний тензор другого рангу може бути представлений) у вигляді суми тензорів типу АцВу. Тому цілком достатньо обмежитися виведенням формули коваріантною похідною для такого спеціального тензора.

Величини § ц є компоненти коваріантного тензора другого рангу, який називається метричним тензором. Аналогічно, (g 1) - контраваріантний метричний тензор, (g (j) - кон-траковарйантний метричний тензор і (g /1) - коконтраваріантний метричний тензор. Величини Vjtf /t - компоненти коваріантного тензора другого рангу. Величини Yrs є, очевидно, симетричними компонентами коваріантного тензора другого рангу, вони утворюють тензор деформації.

З (3.2) видно, що enfc є компонентами симетричного коваріантного тензора другого рангу, який називається тензором деформації. Коли все єп 0 для всіх точок, то ds ds і тіло не деформується.

Така таблиця, певна в будь-який координатної системі з вимоги інваріантності вираження (45), називається коваріантним тензором другого рангу.

Помітивши, що ds2 є інваріантом, робимо висновок (див. § 24), що gik - компоненти симетричного коваріантного тензора другого рангу.

Так як, крім того, gv gvp, то на підставі сказаного в останньому параграфі робимо висновок, що g є коваріантний тензор другого рангу.

Інша коефіцієнтним правило говорить: якщо vk - довільний контраваріантний вектор, а ит - коваріантний і якщо ит - Gmkvk, то Gmk - коваріантний тензор другого рангу.

Перш за все, виходячи з ролі яку відіграє ds в законі руху матеріальної точки, ми можемо зробити висновок, що інтервал ds повинен бути абсолютним інваріантом (скаляром); звідси випливає, що величини g утворюють коваріантний тензор другого рангу), який ми будемо називати коваріантним фундаментальним тензором. Останній визначає гравітаційне поле.

Тоді враховуючи, що ит і wn - довільні вектори, в силу теореми виду 1 робимо висновок, що АТП є коваріантним тензором другого рангу.

Тоді враховуючи, що vm і wn - довільні вектори, в силу теореми виду 1 робимо висновок, що АТП є коваріантним тензором другого рангу.

З першого коефіцієнтного правила і з того, що dxP - контраваріантний вектор, слід, що gnpdx - коваріантний вектор. З другого коефіцієнтного правила і з того, що dx - контраваріантний вектор, випливає, що gnp повинен бути коваріантним тензором другого рангу. Таким чином, висловлене твердження доведено.