А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Арифметична теорема

Арифметична теорема належить Лагранжу. За доказом ми відсилаємо читача до книги Харді і Райта[1, стр.
В качестве примера арифметической теоремы, требующей некоторых дальнейших понятий, мы рассмотрим теорему Эвклида о том, что существует бесконечно много простых чисел.
В основу исследования положена открытая им ранее арифметическая теорема монодромии: шиютт всех, групп инерции нормального поля есть вся группа Галуа того поля.
Чебышев при встрече сообщил мне об одной арифметической теореме, которая меня живо заинтересовала.
Поэтому я считаю, что не отклонюсь в сторону, если уделю здесь место этой замечательной арифметической теореме, тем паче, что изложенное здесь решение задачи не будет вполне законченным без доказательства этой теоремы.
Даже если не говорить о всем письме, приведенный отрывок свидетельствует, что уже в 1890 г. или даже ранее Дедекинд осознал некатегоричность системы аксиом Пеано, причем ясно понимал и возможность существования, как мы сказали бы теперь, нестандартных арифметик; более того, слова я мог бы выбрать эту систему так, что для нее вряд ли сохранилась хотя бы одна арифметическая теорема свидетельствуют о том, что он мог строить такие нестандартные арифметики.
Мы только что видели, что если два измерения параллелепипеда остаются постоянными и изменяется только третье измерение, то объем параллелепипеда будет пропорционален этому третьему измерению. Доказываемое предложение представляет собой приложение следующей общей арифметической теоремы: величина, пропорциональная нескольким величинам в отдельности, пропорциональна их произведению.
Кроме того, строение известных формул а такого сорта очень сложное; они очень длинны, и практически было бы трудно присоединять их к множеству аксиом. Однако нужно заметить, что среди этих формул а существуют такие, которые, будучи надлежащим образом переведены на язык математики, выражают собою важные мета арифметические теоремы.
Однако надежды Гильберта и его последователей были перечеркнуты, когда в 1931 году блестящий австрийский логик математики Курт Гедель выдвинул поразительную теорему, которая до основания разрушала программу Гильберта. Гедель показал, что любая подобная точная ( формальная) система аксиом и правил вывода, если только она достаточна широка, чтобы содержать в себе описания простых арифметических теорем ( как, например, последняя теорема Ферма, рассмотренная в главе 2), и если она свободна от противоречий - то такая система должна включать утверждения, которые не являются ни доказуемыми, ни недоказуемыми в рамках формализма данной системы. Истинность таких неразрешимых утверждений, следовательно, не может быть выяснена с помощью методов, допускаемых самой системой. Более того, Гедель смог показать, что даже утверждение о непротиворечивости системы аксиом, будучи переведенным в форму соответствующей теоремы, само по себе является неразрешимым.
Большая часть работ Минковского посвящена теории чисел, но я не считаю себя вправе о них рассказывать. Я прочитал, и как раз перед приездом в Геттинген, только один из его арифметических трудов под названием Диофантовы приближения, связанные с его лекциями, прочитанными зимой 1903 /04 г. В нем, как и в большом произведении Минковского Геометрия чисел, арифметические теоремы были получены из геометрических соображений; именно здесь и, в частности, с помощью сетки точек с целочисленными координатами на плоскости.
О рациональной эквивалентности квадратичных форм имеются сильные и глубокие результаты Хассе и Минковского. Приложение этих результатов к (10.3.1) и дает теорему 10.3.1. Работа Човла - Райзера, которой мы в основном будем следовать, дает более элементарное доказательство теоремы 10.3.1, хотя для других целей нам нужны результаты Хассе - Минковского во всей полноте. Для доказательства теоремы нам понадобятся одна арифметическая теорема и одно тождество.
В ней был предложен новый метод получения арифметических теорем через рассмотрение свойств плоскости Лобачевского.
Из этой цитаты видно, что Дедекинд полагал, что если при рассмотрении просто бесконечной системы отвлечься от природы элементов и считать их только упорядоченными условиями a, J3, Т, § т то получатся те самые добропорядочные числа, которые известны из обычной арифметики, и тем самым будет решена поставленная им задача теоретико-множественного обоснования этой науки. В[3]він промовчав (або тоді ще не знав цього), що його може стурбувати питання про існування та єдність безлічі натуральних чисел, що задовольняють звичайним тепер аксіом, але це його занепокоєння чітко проявилося кілька років по тому, хоча воно знову-таки не знайшло жодного відображення ні в подальших перевиданнях розглянутої книги, ні в інших роботах Дедекинда, а залишилося лише в його епістолярній спадщині. Але така система S є, очевидно, щось зовсім відмінне від нашої числової послідовності N, і я міг би вибрати цю систему так, щоб для неї навряд чи збереглася хоча б одна арифметична теорема.

Повернемося до Конгресу математиків в Парижі1900 р почесним президентом якого був одностайно обраний Ер-міт. І багато з того і іншого було пов'язано з ім'ям Ерміта, діяльністю його самого або його учнів. У знаменитих проблеми Гільберта Ерміт фігурував і явно і неявно. Явно - в VII проблеми (Ірраціональність і трансцендентність деяких чисел)[III, 221 с. Гільберт сказав: Арифметичні теореми р Ерміта про експоненційної функції та їх узагальнення, що належить р Ліндеманн, звичайно, будуть предметом захоплення всіх майбутніх поколінь математиків.