А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Дослідження - знак
Дослідження знака другої варіації на всіляких переміщеннях є важким завданням.
Залежність граничних навантажень від відносних розмірів тріщини. Зовнішня навантаження зводиться до пари сил. 1 - зростання тріщини починається в точках х Ь. 2 - зростання тріщини починається в точках х. | Залежність граничних навантажень від відносних розмірів перемички між тріщинами. Зовнішня сила зводиться до двох однаковим силам на перемичках. 1 - зростання тріщини починається в точках х &. 2 - зростання тріщини починається в точках х а. Дослідження знака похідних dP% jda і ін /д'підтверджує, що для розглянутих тут випадків зростання тріщини є нестійким.
Залежність граничних навантажень від відносних розмірів іеремичкі між тріщинами. Зовнішня сила зводиться до двох однаковим силам на перемичках. 1 - зростання тріщини починається в точках х 6. 2 - зростання тріщини починається в точках х а. | Залежність граничних навантажень від відносних розмірів тріщини. Зовнішня навантаження вводиться до пари сил. 1 - зростання тріщини починається в точках х Ь. 2 - зростання тріщини починається в тічки х о. Дослідження знака похідних ін% /та й ін /дь підтверджує, що для розглянутих тут випадків зростання тріщини є нестійким.
Дослідження знака такої функції також не становить труднощів. Аналогічне зауваження стосується і до решти множників в чисельнику і знаменнику. Тому при визначенні знака функції Рг (х) потрібно враховувати лише множники, які мають непарні показники.
Залежність граничних навантажень від відносних розмірів перемички між тріщинами. Зовнішня сила зводиться до двох однаковим силам на перемичках. 1 - зростання тріщини починається в точках х Ь. 2 - зростання тріщини починається в точках х а. | Залежність граничних навантажень від відносних розмірів тріщини. Зовнішня навантаження вводиться до пари сил. 1 - зростання тріщини починається в точках х Ь. 2 - зростання тріщини починається в точках х. Дослідження знака похідних ін /та й ін /дь під - ТБРрждает, що для розглянутих тут випадків зростання тріщини є нестійким.
Дослідження знака другого диференціала dsf (P0) може бути проведено шляхом приведення відповідної квадратичної форми до канонічного вигляду.
Дослідження знака функції Вейерштрасса часто пов'язане з деякими труднощами. У разі коли функція F (t x x) тричі дифференцируема по х, умова Вейерштрасса можна замінити легко перевіряється посиленим умовою Лежандра.
Дослідження знака другого диференціала dtf (P /) може бути проведено шляхом приведення відповідної квадратичної форми до канонічного вигляду.
Дослідження знака другого диференціала d2f, (Р0) може бути проведено шляхом приведення відповідної квадратичної форми до канонічного вигляду.
Дослідження знака шуканого числового значення іноді буває настільки важко, що простіше обчислити значення А безпосередньо. Навіть в цьому прикладі де дослідження проводиться досить просто, зручніше обчислювати значення А відразу.
Дослідження знаків коренів характеристичного рівняння проводиться по определителям, складеним з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Перевірка точки на екстремум з використанням вищих похідних.
Спосіб дослідження знаків вищих похідних може зажадати виконання досить громіздких обчислень для визначення в аналітичному вигляді похідних вищих порядків. Тому іноді значно простіше скористатися одним з наведених вище перших двох способів.
Отримані результати дослідження знаків коренів представлені в таблиці на попередній сторінці.
Розглянемо кілька прикладів на дослідження знаків коренів квадратних рівнянь.
Для цього випадку результати дослідження знака Igx і sinx - а наведені в таблиці.
Гурвіца, який зводиться до дослідження знака спеціальним чином складеного визначника і його миноров.
Отже, все звелося до дослідження знака тричлена (10) при зміні а, і ми вкажемо прості ознаки, що дозволяють судити, з яким із зазначених чотирьох випадків ми маємо справу.
У застосуванні цих правил дуже часто дослідження знака похідної /(х) буває очевидним.
Навіть в наведеному вище вельми простому прикладі дослідження знака функції Е було пов'язане з деякими труднощами, і тому бажано умова збереження знака функцією Е замінити легше перевіряється умовою.
У попередньому параграфі питання про стійкість розв'язків лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами був зведений до дослідження знаків дійсних частин коренів характеристичного рівняння.
Умова стаціонарності б (ЛЕ) 0 визначає рівноважні стану вигнутого стрижня при кінцевих прогинах, а дослідження знака другої варіації б2 (ЛЕ) дозволяє встановити, які з рівноважних станів стійкі.
Умова стаціонарності 8 (АЕ) 0 визначає рівноважні стану вигнутого стрижня при кінцевих прогинах, а дослідження знака другої варіації ба (АЕ) дозволяє встановити, які з рівноважних станів стійкі.
Якщо виникає питання про контроль стійкості відповідного основного режиму руху, то при гладкою характеристиці тертя завдання допускає линеаризацию і проблема зводиться до дослідження знака того члена диференціального рівняння обуреного руху, який відображає дію сил тертя.
В описаному способі дослідження стійкості який в прикладних задачах є найбільш поширеним, найбільші труднощі виникають при знаходженні коренів характеристичного рівняння і дослідженні знака їх дійсних частин. Виявляється, що дане дослідження можна виконати не вдаючись до вирішення характеристичного рівняння, що може виявитися надмірно трудомістким.
Прирівнюючи нулю першу похідну повної потенційної енергії, приходимо до рівняння (1.1), яке раніше було отримано безпосередньо з умов рівноваги стрижня. Дослідження знака другої похідної дозволяє встановити, які з знайдених положень рівноваги стійкі.
Графік залежності декремента від амплітуди коливання середнього перетину центрального прольоту трубки.
Точка перетину цих кривих має абсциссу 285 мм, отже, амплітуда автоколивань трубки дорівнює приблизно 2 9 мм. Дослідження знака нерівності за формулою (189) показує, що в даному випадку розвиваються встановилися автоколивання.
На підставі цих критеріїв регульована система виявляється стійкою, якщо всі речові коріння і всі речові частини комплексних коренів характеристичного рівняння, що отримується з заданого диференціального рівняння, є негативними. Дослідження знаків коренів характеристичного рівняння проводиться по определителям, складеним з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Умова існування нетривіальних рішень системи (186) дає рівняння щодо зі. Дослідження знака уявної частини коренів цього рівняння приводить до шуканого умові стійкості.
На підставі цих критеріїв регульована система виявляється стійкою, якщо всі речові коріння і всі речові частини комплексних коренів характеристичного рівняння, що отримується з заданого диференціального рівняння, є негативними. Дослідження знаків коренів характеристичного рівняння проводиться по определителям, складеним з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
При s2 g /l це положення рівноваги нестійкий. Дослідження знака четвертої похідної потенційної енергії показує, що при со2 g /l положення рівноваги також буде стійким.
При цьому значення R і а вважаються дійсними і заздалегідь заданими, а для величини р допускаються комплексні і підлягають визначенню з рівняння (319) значення. Але і ця обмежена завдання дослідження знака уявної частини р по характеристическому рівняння (319) представляє дуже складну за своїми обчисленнями завдання.
Тому при такому методі рішення необхідно провести дослідження знака шуканого значення.
Так само як і практичні критерії, критерій знака вільного члена (а 0) може застосовуватися тільки для системи, приблизно не здатної до самораскачіванію. Виявити в ній апериодическое порушення статичної стійкості дослідженням знака вільного члена ап можна тільки при розгляді поступово погіршується режиму починаючи від свідомо стійкого.
Графік функції у х3 - ЗА - 1. Для знаходження точок перегину слід знайти точки, підозрілі на перегин: в цих точках (х) Про або не існує. Питання про наявність чи відсутність перегину в точці х, вирішується дослідженням знаків /() в околиці точки х, ліворуч і праворуч від цієї точки: якщо знаки однакові перегину немає; якщо знаки різні є перегин.
У Радянському Союзі теоретичні та прикладні роботи з проблеми розпізнавання образів успішно ведуться в науково-дослідних інститутах Академії Наук - Інституті проблем передачі інформації, Інституті автоматики і телемеханіки, київському Інституті кібернетики. Розробляються алгоритми розпізнавання, методи статистичної обробки вихідних множин знаків, імовірнісного підходу до дослідження знаків, питання зменшення шумів і інші питання, що виникають при вирішенні проблеми розпізнавання знакових множин. З'являються діючі макети пристроїв, що реалізують різні алгоритми розпізнавання.
Розрахунки статичної стійкості базуються на дослідженні системи диференціальних рівнянь руху. Як епервие довів А. М. Ляпунов, використання для цієї мети системи линеаризировать диференціальних рівнянь малих коливань дає відповідь на питання про наявність чи відсутність статичної стійкості досліджуваної системи лише за відсутності серед коренів характеристичного рівняння - нульового кореня або пари чисто уявних сполучених коренів. Критерієм статичної стійкості є негативний знак всіх речових коренів і дійсної частини комплексних коренів. При наявності нульових або чисто уявних коренів линеаризировать рівняння не дають відповіді про стійкість і потрібне додаткове дослідження вищих членів - розкладання в ряд, що опускаються при лінеаризації диференціальних рівнянь. Таким, чином, дослідження статичної стійкості зводиться до складання системи диференціальних рівнянь малих коливань, визначення коефіцієнтів її характеристичного рівняння і дослідженню знака коренів останнього.
Залежність граничних навантажень від відносних розмірів тріщини. Зовнішня навантаження зводиться до пари сил. 1 - зростання тріщини починається в точках х Ь. 2 - зростання тріщини починається в точках х. | Залежність граничних навантажень від відносних розмірів перемички між тріщинами. Зовнішня сила зводиться до двох однаковим силам на перемичках. 1 - зростання тріщини починається в точках х &. 2 - зростання тріщини починається в точках х а. Дослідження знака похідних dP% jda і ін /д'підтверджує, що для розглянутих тут випадків зростання тріщини є нестійким.
Залежність граничних навантажень від відносних розмірів іеремичкі між тріщинами. Зовнішня сила зводиться до двох однаковим силам на перемичках. 1 - зростання тріщини починається в точках х 6. 2 - зростання тріщини починається в точках х а. | Залежність граничних навантажень від відносних розмірів тріщини. Зовнішня навантаження вводиться до пари сил. 1 - зростання тріщини починається в точках х Ь. 2 - зростання тріщини починається в тічки х о. Дослідження знака похідних ін% /та й ін /дь підтверджує, що для розглянутих тут випадків зростання тріщини є нестійким.
Дослідження знака такої функції також не становить труднощів. Аналогічне зауваження стосується і до решти множників в чисельнику і знаменнику. Тому при визначенні знака функції Рг (х) потрібно враховувати лише множники, які мають непарні показники.
Залежність граничних навантажень від відносних розмірів перемички між тріщинами. Зовнішня сила зводиться до двох однаковим силам на перемичках. 1 - зростання тріщини починається в точках х Ь. 2 - зростання тріщини починається в точках х а. | Залежність граничних навантажень від відносних розмірів тріщини. Зовнішня навантаження вводиться до пари сил. 1 - зростання тріщини починається в точках х Ь. 2 - зростання тріщини починається в точках х. Дослідження знака похідних ін /та й ін /дь під - ТБРрждает, що для розглянутих тут випадків зростання тріщини є нестійким.
Дослідження знака другого диференціала dsf (P0) може бути проведено шляхом приведення відповідної квадратичної форми до канонічного вигляду.
Дослідження знака функції Вейерштрасса часто пов'язане з деякими труднощами. У разі коли функція F (t x x) тричі дифференцируема по х, умова Вейерштрасса можна замінити легко перевіряється посиленим умовою Лежандра.
Дослідження знака другого диференціала dtf (P /) може бути проведено шляхом приведення відповідної квадратичної форми до канонічного вигляду.
Дослідження знака другого диференціала d2f, (Р0) може бути проведено шляхом приведення відповідної квадратичної форми до канонічного вигляду.
Дослідження знака шуканого числового значення іноді буває настільки важко, що простіше обчислити значення А безпосередньо. Навіть в цьому прикладі де дослідження проводиться досить просто, зручніше обчислювати значення А відразу.
Дослідження знаків коренів характеристичного рівняння проводиться по определителям, складеним з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Перевірка точки на екстремум з використанням вищих похідних.
Спосіб дослідження знаків вищих похідних може зажадати виконання досить громіздких обчислень для визначення в аналітичному вигляді похідних вищих порядків. Тому іноді значно простіше скористатися одним з наведених вище перших двох способів.
Отримані результати дослідження знаків коренів представлені в таблиці на попередній сторінці.
Розглянемо кілька прикладів на дослідження знаків коренів квадратних рівнянь.
Для цього випадку результати дослідження знака Igx і sinx - а наведені в таблиці.
Гурвіца, який зводиться до дослідження знака спеціальним чином складеного визначника і його миноров.
Отже, все звелося до дослідження знака тричлена (10) при зміні а, і ми вкажемо прості ознаки, що дозволяють судити, з яким із зазначених чотирьох випадків ми маємо справу.
У застосуванні цих правил дуже часто дослідження знака похідної /(х) буває очевидним.
Навіть в наведеному вище вельми простому прикладі дослідження знака функції Е було пов'язане з деякими труднощами, і тому бажано умова збереження знака функцією Е замінити легше перевіряється умовою.
У попередньому параграфі питання про стійкість розв'язків лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами був зведений до дослідження знаків дійсних частин коренів характеристичного рівняння.
Умова стаціонарності б (ЛЕ) 0 визначає рівноважні стану вигнутого стрижня при кінцевих прогинах, а дослідження знака другої варіації б2 (ЛЕ) дозволяє встановити, які з рівноважних станів стійкі.
Умова стаціонарності 8 (АЕ) 0 визначає рівноважні стану вигнутого стрижня при кінцевих прогинах, а дослідження знака другої варіації ба (АЕ) дозволяє встановити, які з рівноважних станів стійкі.
Якщо виникає питання про контроль стійкості відповідного основного режиму руху, то при гладкою характеристиці тертя завдання допускає линеаризацию і проблема зводиться до дослідження знака того члена диференціального рівняння обуреного руху, який відображає дію сил тертя.
В описаному способі дослідження стійкості який в прикладних задачах є найбільш поширеним, найбільші труднощі виникають при знаходженні коренів характеристичного рівняння і дослідженні знака їх дійсних частин. Виявляється, що дане дослідження можна виконати не вдаючись до вирішення характеристичного рівняння, що може виявитися надмірно трудомістким.
Прирівнюючи нулю першу похідну повної потенційної енергії, приходимо до рівняння (1.1), яке раніше було отримано безпосередньо з умов рівноваги стрижня. Дослідження знака другої похідної дозволяє встановити, які з знайдених положень рівноваги стійкі.
Графік залежності декремента від амплітуди коливання середнього перетину центрального прольоту трубки.
Точка перетину цих кривих має абсциссу 285 мм, отже, амплітуда автоколивань трубки дорівнює приблизно 2 9 мм. Дослідження знака нерівності за формулою (189) показує, що в даному випадку розвиваються встановилися автоколивання.
На підставі цих критеріїв регульована система виявляється стійкою, якщо всі речові коріння і всі речові частини комплексних коренів характеристичного рівняння, що отримується з заданого диференціального рівняння, є негативними. Дослідження знаків коренів характеристичного рівняння проводиться по определителям, складеним з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Умова існування нетривіальних рішень системи (186) дає рівняння щодо зі. Дослідження знака уявної частини коренів цього рівняння приводить до шуканого умові стійкості.
На підставі цих критеріїв регульована система виявляється стійкою, якщо всі речові коріння і всі речові частини комплексних коренів характеристичного рівняння, що отримується з заданого диференціального рівняння, є негативними. Дослідження знаків коренів характеристичного рівняння проводиться по определителям, складеним з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
При s2 g /l це положення рівноваги нестійкий. Дослідження знака четвертої похідної потенційної енергії показує, що при со2 g /l положення рівноваги також буде стійким.
При цьому значення R і а вважаються дійсними і заздалегідь заданими, а для величини р допускаються комплексні і підлягають визначенню з рівняння (319) значення. Але і ця обмежена завдання дослідження знака уявної частини р по характеристическому рівняння (319) представляє дуже складну за своїми обчисленнями завдання.
Тому при такому методі рішення необхідно провести дослідження знака шуканого значення.
Так само як і практичні критерії, критерій знака вільного члена (а 0) може застосовуватися тільки для системи, приблизно не здатної до самораскачіванію. Виявити в ній апериодическое порушення статичної стійкості дослідженням знака вільного члена ап можна тільки при розгляді поступово погіршується режиму починаючи від свідомо стійкого.
Графік функції у х3 - ЗА - 1. Для знаходження точок перегину слід знайти точки, підозрілі на перегин: в цих точках (х) Про або не існує. Питання про наявність чи відсутність перегину в точці х, вирішується дослідженням знаків /() в околиці точки х, ліворуч і праворуч від цієї точки: якщо знаки однакові перегину немає; якщо знаки різні є перегин.
У Радянському Союзі теоретичні та прикладні роботи з проблеми розпізнавання образів успішно ведуться в науково-дослідних інститутах Академії Наук - Інституті проблем передачі інформації, Інституті автоматики і телемеханіки, київському Інституті кібернетики. Розробляються алгоритми розпізнавання, методи статистичної обробки вихідних множин знаків, імовірнісного підходу до дослідження знаків, питання зменшення шумів і інші питання, що виникають при вирішенні проблеми розпізнавання знакових множин. З'являються діючі макети пристроїв, що реалізують різні алгоритми розпізнавання.
Розрахунки статичної стійкості базуються на дослідженні системи диференціальних рівнянь руху. Як епервие довів А. М. Ляпунов, використання для цієї мети системи линеаризировать диференціальних рівнянь малих коливань дає відповідь на питання про наявність чи відсутність статичної стійкості досліджуваної системи лише за відсутності серед коренів характеристичного рівняння - нульового кореня або пари чисто уявних сполучених коренів. Критерієм статичної стійкості є негативний знак всіх речових коренів і дійсної частини комплексних коренів. При наявності нульових або чисто уявних коренів линеаризировать рівняння не дають відповіді про стійкість і потрібне додаткове дослідження вищих членів - розкладання в ряд, що опускаються при лінеаризації диференціальних рівнянь. Таким, чином, дослідження статичної стійкості зводиться до складання системи диференціальних рівнянь малих коливань, визначення коефіцієнтів її характеристичного рівняння і дослідженню знака коренів останнього.