А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Граничне властивість
Граничні властивості самих потенціалів і (ф) і v (tp) для наших цілей несуттєві хоча, як легко бачити, вони виходять безпосередньо з (915) і (916), так як складові що входять в ці потенціали, представляють комбінацію потенціалів типу простого шару і гармонійного потенціалу подвійного шару, граничні властивості яких були вивчені в попередніх параграфах.
Граничні властивості потенціалів, виражені равенствами (319) - (321), тут також зберігаються.
Граничні властивості аналітичних функцій, Гостехиздат, 1950 стор. Граничні властивості аналітичних функцій, Лузіна - Привалова теореми, Граничне безліч.
Граничні властивості аналітичних функцій, Лузіна приклади, Граничне безліч, Привалова теорема, Рісс теорема.
Багато граничні властивості переносяться на різні узагальнення аналитич.
Зауваження 2.2. Граничні властивості (232) - (234) дозволяють побудувати ДІУ ТЕРМОПРУЖНОСТІ статики як в рамках прямої, так і в рамках непрямий формулювань МГЕ.
Зважаючи на це граничні властивості квазистатических потенціалів для стабільного середовища можуть бути записані в зображеннях по Лапласу (за часом) у вигляді аналогічному випадку пружною статики.
Зауважимо, що граничні властивості квазистатических вязкоупру-ших потенціалів і динамічних пружних потенціалів збігаються, відрізняючись лише типом згортки за часом. З іншого боку, форма запису динамічних вязкоупругих потенціалів (125) - (127) у разі стабільного середовища повністю збігається з формою записи відповідних динамічних пружних потенціалів.
Беручи до уваги граничні властивості потенціалів простого шару, гармонійних потенціалів простого і подвійного шарів, з (924), з огляду на (925), робимо висновок, що існують R (dZ9 v) u (y) (z) і R (dZ9 v) і ( ф) (г) - і рівні один одному.
Ці автори виявили деякі дуже цікаві граничні властивості таких функцій, що показують, що у них і у обмежених функцій є деякі аналогічні властивості.
Про інтеграли Темлякова і граничні властивості аналітичних функцій багатьох комплексних змінних.
В силу (4.1) і (4.2) граничні властивості перших похідних (за координатами) динамічних потенціалів простого і подвійного шару визначаються граничними властивостями (2429) і (2452) похідних статичних потенціалів.
У цьому розділі будуть досліджені граничні властивості потенціалів, що представляють рішення граничних і гранично-контактних задач теорії пружності зокрема граничні властивості похідних зазначених потенціалів довільного порядку.
Простота обчислення теплоти Q6 і її граничне властивість, як було показано в розд.
На підставі цих даних можна прийти до висновку, що особливі граничні властивості тонких плівок води починають проявлятися вже при товщині плівок посилання - 1 5 мк, & в шарах товщиною близько десятої частки мікрона молекули води практично повністю позбавлені свободи обертального руху.
Так, наприклад, якщо на схемі відображаються всі просторові або тимчасові граничні властивості зв'язків, то назвемо її повної структурою. Структура ж є похідним граничним властивістю мережі зв'язків між утворюють системи і як будь-який граничне властивість, може розглядатися відособлено від якісних властивостей цих кордонів, тобто практично на прикладі кордонів між якими завгодно якостями, тільки як схема.
У разі однозв'язної області конформне відображення дозволяє звести загальну задачу про граничні властивості до вивчення функцій, аналітичних в колі. Однак для деяких теорій, наприклад, для теорії інтеграла Коші доцільно проводити дослідження безпосередньо в більш загальних областях, обмежених довільними спрямляются кривими.
Спільне введення інгібіторів корозії і наповнювачів в мастила перш за все відображається на їх граничні властивості: збільшується відносна полярність мастила, підвищується частка поляризаційного опору в загальному опорі захисної плівки, значно збільшується величина ефекту післядії. Все его призводить до підвищення захисної ефективності мастила.
Ми вже двічі згадували, що все значення Eh, що поставляються лінійним варіаційним методом, мають граничними властивостями.
Поєднання напівпровідників і-типу і р-типу дає комбінації виду п-р - п або р-п - р з особливими граничними властивостями, визначальними ту чи іншу рухливість дірок і електронів. Включення подібних пристроїв в електричні ланцюги дозволяє здійснювати випрямлення або посилення протікає в них електричного струму. Такі пристрої називаються транзисторами.
Для потенціалів (2) - - (4) залишаються в силі з відповідними змінами, всі диференціальні і граничні властивості гармонич.
У цьому розділі будуть досліджені граничні властивості потенціалів, що представляють рішення граничних і гранично-контактних задач теорії пружності зокрема граничні властивості похідних зазначених потенціалів довільного порядку.
В силу (4.1) і (4.2) граничні властивості перших похідних (за координатами) динамічних потенціалів простого і подвійного шару визначаються граничними властивостями (2429) і (2452) похідних статичних потенціалів.
У цих умовах вплив масла на тертя в підшипнику при низьких значеннях v n може позначатися тільки в зв'язку з його граничними властивостями, в той час як в'язкість практично не має значення. Лише з підвищенням швидкохідності підшипника і в'язкості масла починають помітно проявлятися втрати на тертя гідродинамічного характеру.
Залежність теплопровідності води від товщини плівок між свіжими пластинками слюди (1. між пластинками слюди, промитими в киплячій воді (2 між поліетиленовими пластинками (3 jjy. | Температурна залежність теплопровідності плівок води між пластинками слюди при товщині плівок 006 мк (7010 мк (2015 мк (3 (пунктиром показаний зворотний хід. З усього викладеного випливає, що плівки води, а також інших полярних рідин між свіжоутвореними активними поверхнями кристалів слюди мають особливі граничними властивостями при толщинах порядку одного мікрона і менше.
Нижче розглядається випадок однорідного тіла, для якого в § § 2 3 були отримані фундаментальні рішення, а в § 4 досліджені граничні властивості потенціалів.
Для ініціювання інвестиційного проекту в парах 2-го і 3-го класів необхідно застосовувати більш активні і менш в'язкі мастила, ніж в парах 4-го класу, так як реверс підсилює корозійні і граничні властивості мастила.
Граничні властивості самих потенціалів і (ф) і v (tp) для наших цілей несуттєві хоча, як легко бачити, вони виходять безпосередньо з (915) і (916), так як складові що входять в ці потенціали, представляють комбінацію потенціалів типу простого шару і гармонійного потенціалу подвійного шару, граничні властивості яких були вивчені в попередніх параграфах.
Дослідженнями температурної залежності коефіцієнта граничного згущене було показано, що в'язкість і структура масел в граничному шарі відрізняються від аналогічних властивостей в обсязі. Граничні властивості визначаються не тільки властивостями самої рідини, але і властивостями твердого тіла, з якими вона стикається, точніше взаємодією рідини з твердим тілом.
Граничні властивості цього потенціалу були детально досліджені в гл.
Проблема існування несмнрповскіх областей з жорданову спрямляются межами була вирішена М. В. Келдишем і М. А. Лаврентьєвим[2J, давшими тонкую и сложную конструкцию таких. Основные граничные свойства аналитических функций в круге присущи и функциям, аналитическим в С. Ляпунова или кусочно ляпуновские кривые с ненулевыми углами.
Так, например, если на схеме отражаются все пространственные или временные граничные свойства связей, то назовем ее полной структурой. Структура же является производным граничным свойством сети связей между образующими системы и, как любое граничное свойство, может рассматриваться в отвлечении от качественных свойств этих границ, т.е. практически на примере границ между какими угодно качествами, только как схема.
В первой изложены основные теоремы для пространств Wlp, рассмотрены граничные свойства функций па плоских многообразиях, установлены мультипликативные оценки, а также теоремы о вполне непрерывности оператора вложения.
Интегралы (3.1) в теории упругости играют такую же роль, какую играет потенциал простого слоя в теории граничных задач гармонических функций ( см., например, Гюнтер[1]) Або узагальнені потенціали (див., Наприклад, Miranda[1]) Простого шару в теорії граничних задач еліптичних рівнянь в приватних похідних другого порядку. Інтеграл (3.1), крім того, як в цьому переконаємося згодом, володіє граничними властивостями, аналогічними граничним властивостями потенціалу простого шару.
Так, наприклад, якщо на схемі відображаються всі просторові або тимчасові граничні властивості зв'язків, то назвемо її повної структурою. Структура ж є похідним граничним властивістю мережі зв'язків між утворюють системи і як будь-який граничне властивість, може розглядатися відособлено від якісних властивостей цих кордонів, тобто практично на прикладі кордонів між якими завгодно якостями, тільки як схема.
зонна структура примесного напівпровідника. а - п-тила. б - р-типу. У з'єднаннях елементів провідність може бути змінена як внесенням домішок, так і шляхом зміни нормального (сте-хіометріческого) співвідношення атомів у сполуці. На характер провідності впливають також випадкові домішки, дефекти кристалічної решітки, а також граничні властивості зерен монокристалів напівпровідників полікристалічної структури.
Активно цікавився Бляшке і питаннями теорії функцій комплексного змінного: він брав участь в складанні двох книг з теорії конформних отображеній2) і опублікував ряд що відносяться до цієї області статей. І сьогодні так звані функції Бляшке або твори Бляшке займають велике місце у всіх дослідженнях, присвячених граничним властивостям аналітичних функцій, і використовуються всіма споживачами цієї теорії аж до інженерів.
Інтеграли (3.1) в теорії пружності грають таку ж роль, яку відіграє потенціал простого шару в теорії граничних задач гармонійних функцій (див., наприклад, Гюнтер[1]) або узагальнені потенціали (див., наприклад, Miranda[1]) простого шару в теорії граничних задач еліптичних рівнянь в приватних похідних другого порядку. Інтеграл (3.1), крім того, як в цьому переконаємося згодом, володіє граничними властивостями, аналогічними граничним властивостями потенціалу простого шару.
У навантажених підшипниках кочення при помірних швидкостях обертання на втрати енергії (при відсутності втрат на збовтування масла) в основному впливає граничне тертя на майданчиках контакту між тілами кочення і кільцями. У цих умовах вплив масла на тертя в підшипнику при низьких значеннях v n може позначатися тільки в зв'язку з його граничними властивостями, в той час як в'язкість практично не має значення. Лише з підвищенням швидкохідності підшипника і в'язкості масла починають помітно проявлятися втрати на тертя гідродинамічного характеру.
У навантажених підшипниках кочення при помірних швидкостях вращепія на втрати енергії (при відсутності втрат на збовтування масла) в основному впливає граничне тертя на майданчиках контакту між тілами кочення і кільцями. У цих умовах вплив масла на тертя в підшипнику при низьких значеннях v n може позначатися тільки в зв'язку з його граничними властивостями, в той час як в'язкість практично не має значення. Лише з підвищенням швидкохідності підшипника і в'язкості масла починають помітно проявлятися втрати на тертя гідродинамічного характеру.
За теоремою Рімана існує конформне перетворення S області О на область D, таке, що нескінченно віддалена точка переходить в нескінченно віддалену. При цьому перетворенні межа Г переходить в окружність З таким чином, що кожній точці кола С відповідає граничний елемент (простий кінець по термінології Каратеев - дорі[57]; Докладніше про граничні властивості конформного відображення см. Також[58]), І відповідність це взаємно однозначне.
Якщо поле розглядається в нескінченному обсязі то його властивості слід вивчати за допомогою рівності (4.5) в межі коли гранична поверхню про необмежено розширюється. Єдність розв'язку залежить від поведінки інтегралів в цій межі яке в свою чергу визначається характером поведінки функцій Е і //при г - - оо. Якщо ці граничні властивості відповідають, наприклад, так званого умові випромінювання (див. § 20), то рішення рівнянь Максвелла мають властивість єдиності і в нескінченному обсязі.
У цьому випадку необхідність умов перевіряється можливістю продовження будь функцій, що задовольняє граничним умовам, з різноманіття Гт на всю область g в заданий клас функцій. Важливість такої постановки особливо ясна при вирішенні прямими методами варіаційних задач, коли потрібно при заданих граничних функціях перевірити непустоту розглянутого класу. В даний час граничні властивості функцій, що належать різним функціональним просторам, найбільш повно досліджені на площинах, паралельних координатним. Для загальних різноманіть отримання необхідних і достатніх умов пов'язано з великими труднощами. Нижче досліджуються диференціальні властивості сліду для неіз-Тропп класів Wp (g) на плоских многовидах Гт, а також на многовидах, які за допомогою інваріантних щодо класу Wp перетворень приводяться до плоского випадку. Характеристика сліду на істотно криволінійної кордоні буде досліджена в наступному розділі.
Будемо розглядати пружне простір, що має нескінченне число циліндричних отворів, що утворюють яких паралельні осі р Перетин площиною, перпендикулярній осі г, є площина змінної х - - 1У з нескінченним числом круглих отворів /(V /, розташованих в певному порядку. Розглянемо два випадки розташування отворів, для яких потім вирішимо дві задачі термопружності. Рішення задачі термопружності і пов'язаної з нею задачі теплопровідності засновано у нас на застосуванні аналітичних функцій, що володіють цікавими граничними властивостями в нескінченно зв'язковий області. Розглянемо ці властивості для двох випадків розташування отворів.
Виявляється це залишається вірним і для топологічних поверхонь через теореми Радо[161](див. також[206], 2575. 1J), яка стверджує, що ше поверхні тріангуліруеми і що в розмірності 2 виконана основна гіпотеза про тріангуляції - хауптфермутунг -, яка стверджує, що будь-які дві тріангуляції однієї і тієї ж поверхні мають ізоморфні подразбіенія. Далі будь-які дві (матеріально) диференціюються структури на поверхні еквівалентні. Як наслідок цього, топологічні та матеріально диференціюються поверхні можуть класифікуватися по гомологічних інваріанта: ориентируемое, ейлеровой характеристиці граничним властивостями. Це дає підставу того, що головні топологічні властивості поверхонь можуть вивчатися на рівні методів комбінаторної теорії груп.
Мастильний матеріал, розподілений ультратонким шаром на поверхні металу або будь-якого іншого твердого тіла, під впливом силового поля цього тіла набуває особливі властивості що відрізняються від тих, якими він володіє в обсязі. Прямих методів вивчення тонкої структури граничного шару і молекулярного взаємодії в ньому поки в мастильні матеріали не розроблено. Але в практиці досить широко використовують методи, що дозволяють оцінювати окремі експлуатаційні показники мастильних матеріалів, в значній мірі обумовлені граничними властивостями. До таких показників відносяться мастильна здатність, яка визначає антифрикційні властивості мастил, і здатність утримуватися на вертикальній поверхні при температурах, близьких до температури плавлення (температура сповзання), що характеризує захисні властивості мастил (див. Гл. Можна довести, що формули (Г) і (II) залишаються в силі для самого загального інтеграла типу Коші якщо нехтувати нуль-множинами. Кр'ме того, можна виявити в цьому випадку, що граничне значення% (z0)[или ре ( г0) ]залишається одним і тим же, якщо ми будемо наближати точку г до точці гп з будь-якого шляху, не дотичному в точці zg до контуру інтегрування. Вичерпна рішення цих питань читач може знайти в наших книгах Інтеграл Cauchy (Наукові записки Саратовського університету, 1918), а також Граничні властивості однозначних аналітичних функцій (вид.
Об'ємні властивості мастила втрачають своє значення, і основну роль набувають властивостей граничного шару. Від них залежить дуже важливий експлуатаційний показник антифрикційних мастил - жирність або мастильна здатність і важлива для захисних і герметизуючих мастил липкість. Граничні властивості мастил відносяться до числа найменш вивчених.
Основні факти, які ми для цього завдання встановимо, можуть бути отримані також для будь-якої однозв'язної області з досить гладкою кордоном. Більш того, вони можуть бути отримані з теорем, доведених для кола, за допомогою конформного перетворення. Ми не можемо в нашому курсі на такому перенесенні зупинятися, тому що в нашому розпорядженні немає тих тонких теорем про граничні властивості конформних перетворень, які для цього перенесення потрібні.
Граничні властивості потенціалів, виражені равенствами (319) - (321), тут також зберігаються.
Граничні властивості аналітичних функцій, Гостехиздат, 1950 стор. Граничні властивості аналітичних функцій, Лузіна - Привалова теореми, Граничне безліч.
Граничні властивості аналітичних функцій, Лузіна приклади, Граничне безліч, Привалова теорема, Рісс теорема.
Багато граничні властивості переносяться на різні узагальнення аналитич.
Зауваження 2.2. Граничні властивості (232) - (234) дозволяють побудувати ДІУ ТЕРМОПРУЖНОСТІ статики як в рамках прямої, так і в рамках непрямий формулювань МГЕ.
Зважаючи на це граничні властивості квазистатических потенціалів для стабільного середовища можуть бути записані в зображеннях по Лапласу (за часом) у вигляді аналогічному випадку пружною статики.
Зауважимо, що граничні властивості квазистатических вязкоупру-ших потенціалів і динамічних пружних потенціалів збігаються, відрізняючись лише типом згортки за часом. З іншого боку, форма запису динамічних вязкоупругих потенціалів (125) - (127) у разі стабільного середовища повністю збігається з формою записи відповідних динамічних пружних потенціалів.
Беручи до уваги граничні властивості потенціалів простого шару, гармонійних потенціалів простого і подвійного шарів, з (924), з огляду на (925), робимо висновок, що існують R (dZ9 v) u (y) (z) і R (dZ9 v) і ( ф) (г) - і рівні один одному.
Ці автори виявили деякі дуже цікаві граничні властивості таких функцій, що показують, що у них і у обмежених функцій є деякі аналогічні властивості.
Про інтеграли Темлякова і граничні властивості аналітичних функцій багатьох комплексних змінних.
В силу (4.1) і (4.2) граничні властивості перших похідних (за координатами) динамічних потенціалів простого і подвійного шару визначаються граничними властивостями (2429) і (2452) похідних статичних потенціалів.
У цьому розділі будуть досліджені граничні властивості потенціалів, що представляють рішення граничних і гранично-контактних задач теорії пружності зокрема граничні властивості похідних зазначених потенціалів довільного порядку.
Простота обчислення теплоти Q6 і її граничне властивість, як було показано в розд.
На підставі цих даних можна прийти до висновку, що особливі граничні властивості тонких плівок води починають проявлятися вже при товщині плівок посилання - 1 5 мк, & в шарах товщиною близько десятої частки мікрона молекули води практично повністю позбавлені свободи обертального руху.
Так, наприклад, якщо на схемі відображаються всі просторові або тимчасові граничні властивості зв'язків, то назвемо її повної структурою. Структура ж є похідним граничним властивістю мережі зв'язків між утворюють системи і як будь-який граничне властивість, може розглядатися відособлено від якісних властивостей цих кордонів, тобто практично на прикладі кордонів між якими завгодно якостями, тільки як схема.
У разі однозв'язної області конформне відображення дозволяє звести загальну задачу про граничні властивості до вивчення функцій, аналітичних в колі. Однак для деяких теорій, наприклад, для теорії інтеграла Коші доцільно проводити дослідження безпосередньо в більш загальних областях, обмежених довільними спрямляются кривими.
Спільне введення інгібіторів корозії і наповнювачів в мастила перш за все відображається на їх граничні властивості: збільшується відносна полярність мастила, підвищується частка поляризаційного опору в загальному опорі захисної плівки, значно збільшується величина ефекту післядії. Все его призводить до підвищення захисної ефективності мастила.
Ми вже двічі згадували, що все значення Eh, що поставляються лінійним варіаційним методом, мають граничними властивостями.
Поєднання напівпровідників і-типу і р-типу дає комбінації виду п-р - п або р-п - р з особливими граничними властивостями, визначальними ту чи іншу рухливість дірок і електронів. Включення подібних пристроїв в електричні ланцюги дозволяє здійснювати випрямлення або посилення протікає в них електричного струму. Такі пристрої називаються транзисторами.
Для потенціалів (2) - - (4) залишаються в силі з відповідними змінами, всі диференціальні і граничні властивості гармонич.
У цьому розділі будуть досліджені граничні властивості потенціалів, що представляють рішення граничних і гранично-контактних задач теорії пружності зокрема граничні властивості похідних зазначених потенціалів довільного порядку.
В силу (4.1) і (4.2) граничні властивості перших похідних (за координатами) динамічних потенціалів простого і подвійного шару визначаються граничними властивостями (2429) і (2452) похідних статичних потенціалів.
У цих умовах вплив масла на тертя в підшипнику при низьких значеннях v n може позначатися тільки в зв'язку з його граничними властивостями, в той час як в'язкість практично не має значення. Лише з підвищенням швидкохідності підшипника і в'язкості масла починають помітно проявлятися втрати на тертя гідродинамічного характеру.
Залежність теплопровідності води від товщини плівок між свіжими пластинками слюди (1. між пластинками слюди, промитими в киплячій воді (2 між поліетиленовими пластинками (3 jjy. | Температурна залежність теплопровідності плівок води між пластинками слюди при товщині плівок 006 мк (7010 мк (2015 мк (3 (пунктиром показаний зворотний хід. З усього викладеного випливає, що плівки води, а також інших полярних рідин між свіжоутвореними активними поверхнями кристалів слюди мають особливі граничними властивостями при толщинах порядку одного мікрона і менше.
Нижче розглядається випадок однорідного тіла, для якого в § § 2 3 були отримані фундаментальні рішення, а в § 4 досліджені граничні властивості потенціалів.
Для ініціювання інвестиційного проекту в парах 2-го і 3-го класів необхідно застосовувати більш активні і менш в'язкі мастила, ніж в парах 4-го класу, так як реверс підсилює корозійні і граничні властивості мастила.
Граничні властивості самих потенціалів і (ф) і v (tp) для наших цілей несуттєві хоча, як легко бачити, вони виходять безпосередньо з (915) і (916), так як складові що входять в ці потенціали, представляють комбінацію потенціалів типу простого шару і гармонійного потенціалу подвійного шару, граничні властивості яких були вивчені в попередніх параграфах.
Дослідженнями температурної залежності коефіцієнта граничного згущене було показано, що в'язкість і структура масел в граничному шарі відрізняються від аналогічних властивостей в обсязі. Граничні властивості визначаються не тільки властивостями самої рідини, але і властивостями твердого тіла, з якими вона стикається, точніше взаємодією рідини з твердим тілом.
Граничні властивості цього потенціалу були детально досліджені в гл.
Проблема існування несмнрповскіх областей з жорданову спрямляются межами була вирішена М. В. Келдишем і М. А. Лаврентьєвим[2J, давшими тонкую и сложную конструкцию таких. Основные граничные свойства аналитических функций в круге присущи и функциям, аналитическим в С. Ляпунова или кусочно ляпуновские кривые с ненулевыми углами.
Так, например, если на схеме отражаются все пространственные или временные граничные свойства связей, то назовем ее полной структурой. Структура же является производным граничным свойством сети связей между образующими системы и, как любое граничное свойство, может рассматриваться в отвлечении от качественных свойств этих границ, т.е. практически на примере границ между какими угодно качествами, только как схема.
В первой изложены основные теоремы для пространств Wlp, рассмотрены граничные свойства функций па плоских многообразиях, установлены мультипликативные оценки, а также теоремы о вполне непрерывности оператора вложения.
Интегралы (3.1) в теории упругости играют такую же роль, какую играет потенциал простого слоя в теории граничных задач гармонических функций ( см., например, Гюнтер[1]) Або узагальнені потенціали (див., Наприклад, Miranda[1]) Простого шару в теорії граничних задач еліптичних рівнянь в приватних похідних другого порядку. Інтеграл (3.1), крім того, як в цьому переконаємося згодом, володіє граничними властивостями, аналогічними граничним властивостями потенціалу простого шару.
Так, наприклад, якщо на схемі відображаються всі просторові або тимчасові граничні властивості зв'язків, то назвемо її повної структурою. Структура ж є похідним граничним властивістю мережі зв'язків між утворюють системи і як будь-який граничне властивість, може розглядатися відособлено від якісних властивостей цих кордонів, тобто практично на прикладі кордонів між якими завгодно якостями, тільки як схема.
зонна структура примесного напівпровідника. а - п-тила. б - р-типу. У з'єднаннях елементів провідність може бути змінена як внесенням домішок, так і шляхом зміни нормального (сте-хіометріческого) співвідношення атомів у сполуці. На характер провідності впливають також випадкові домішки, дефекти кристалічної решітки, а також граничні властивості зерен монокристалів напівпровідників полікристалічної структури.
Активно цікавився Бляшке і питаннями теорії функцій комплексного змінного: він брав участь в складанні двох книг з теорії конформних отображеній2) і опублікував ряд що відносяться до цієї області статей. І сьогодні так звані функції Бляшке або твори Бляшке займають велике місце у всіх дослідженнях, присвячених граничним властивостям аналітичних функцій, і використовуються всіма споживачами цієї теорії аж до інженерів.
Інтеграли (3.1) в теорії пружності грають таку ж роль, яку відіграє потенціал простого шару в теорії граничних задач гармонійних функцій (див., наприклад, Гюнтер[1]) або узагальнені потенціали (див., наприклад, Miranda[1]) простого шару в теорії граничних задач еліптичних рівнянь в приватних похідних другого порядку. Інтеграл (3.1), крім того, як в цьому переконаємося згодом, володіє граничними властивостями, аналогічними граничним властивостями потенціалу простого шару.
У навантажених підшипниках кочення при помірних швидкостях обертання на втрати енергії (при відсутності втрат на збовтування масла) в основному впливає граничне тертя на майданчиках контакту між тілами кочення і кільцями. У цих умовах вплив масла на тертя в підшипнику при низьких значеннях v n може позначатися тільки в зв'язку з його граничними властивостями, в той час як в'язкість практично не має значення. Лише з підвищенням швидкохідності підшипника і в'язкості масла починають помітно проявлятися втрати на тертя гідродинамічного характеру.
У навантажених підшипниках кочення при помірних швидкостях вращепія на втрати енергії (при відсутності втрат на збовтування масла) в основному впливає граничне тертя на майданчиках контакту між тілами кочення і кільцями. У цих умовах вплив масла на тертя в підшипнику при низьких значеннях v n може позначатися тільки в зв'язку з його граничними властивостями, в той час як в'язкість практично не має значення. Лише з підвищенням швидкохідності підшипника і в'язкості масла починають помітно проявлятися втрати на тертя гідродинамічного характеру.
За теоремою Рімана існує конформне перетворення S області О на область D, таке, що нескінченно віддалена точка переходить в нескінченно віддалену. При цьому перетворенні межа Г переходить в окружність З таким чином, що кожній точці кола С відповідає граничний елемент (простий кінець по термінології Каратеев - дорі[57]; Докладніше про граничні властивості конформного відображення см. Також[58]), І відповідність це взаємно однозначне.
Якщо поле розглядається в нескінченному обсязі то його властивості слід вивчати за допомогою рівності (4.5) в межі коли гранична поверхню про необмежено розширюється. Єдність розв'язку залежить від поведінки інтегралів в цій межі яке в свою чергу визначається характером поведінки функцій Е і //при г - - оо. Якщо ці граничні властивості відповідають, наприклад, так званого умові випромінювання (див. § 20), то рішення рівнянь Максвелла мають властивість єдиності і в нескінченному обсязі.
У цьому випадку необхідність умов перевіряється можливістю продовження будь функцій, що задовольняє граничним умовам, з різноманіття Гт на всю область g в заданий клас функцій. Важливість такої постановки особливо ясна при вирішенні прямими методами варіаційних задач, коли потрібно при заданих граничних функціях перевірити непустоту розглянутого класу. В даний час граничні властивості функцій, що належать різним функціональним просторам, найбільш повно досліджені на площинах, паралельних координатним. Для загальних різноманіть отримання необхідних і достатніх умов пов'язано з великими труднощами. Нижче досліджуються диференціальні властивості сліду для неіз-Тропп класів Wp (g) на плоских многовидах Гт, а також на многовидах, які за допомогою інваріантних щодо класу Wp перетворень приводяться до плоского випадку. Характеристика сліду на істотно криволінійної кордоні буде досліджена в наступному розділі.
Будемо розглядати пружне простір, що має нескінченне число циліндричних отворів, що утворюють яких паралельні осі р Перетин площиною, перпендикулярній осі г, є площина змінної х - - 1У з нескінченним числом круглих отворів /(V /, розташованих в певному порядку. Розглянемо два випадки розташування отворів, для яких потім вирішимо дві задачі термопружності. Рішення задачі термопружності і пов'язаної з нею задачі теплопровідності засновано у нас на застосуванні аналітичних функцій, що володіють цікавими граничними властивостями в нескінченно зв'язковий області. Розглянемо ці властивості для двох випадків розташування отворів.
Виявляється це залишається вірним і для топологічних поверхонь через теореми Радо[161](див. також[206], 2575. 1J), яка стверджує, що ше поверхні тріангуліруеми і що в розмірності 2 виконана основна гіпотеза про тріангуляції - хауптфермутунг -, яка стверджує, що будь-які дві тріангуляції однієї і тієї ж поверхні мають ізоморфні подразбіенія. Далі будь-які дві (матеріально) диференціюються структури на поверхні еквівалентні. Як наслідок цього, топологічні та матеріально диференціюються поверхні можуть класифікуватися по гомологічних інваріанта: ориентируемое, ейлеровой характеристиці граничним властивостями. Це дає підставу того, що головні топологічні властивості поверхонь можуть вивчатися на рівні методів комбінаторної теорії груп.
Мастильний матеріал, розподілений ультратонким шаром на поверхні металу або будь-якого іншого твердого тіла, під впливом силового поля цього тіла набуває особливі властивості що відрізняються від тих, якими він володіє в обсязі. Прямих методів вивчення тонкої структури граничного шару і молекулярного взаємодії в ньому поки в мастильні матеріали не розроблено. Але в практиці досить широко використовують методи, що дозволяють оцінювати окремі експлуатаційні показники мастильних матеріалів, в значній мірі обумовлені граничними властивостями. До таких показників відносяться мастильна здатність, яка визначає антифрикційні властивості мастил, і здатність утримуватися на вертикальній поверхні при температурах, близьких до температури плавлення (температура сповзання), що характеризує захисні властивості мастил (див. Гл. Можна довести, що формули (Г) і (II) залишаються в силі для самого загального інтеграла типу Коші якщо нехтувати нуль-множинами. Кр'ме того, можна виявити в цьому випадку, що граничне значення% (z0)[или ре ( г0) ]залишається одним і тим же, якщо ми будемо наближати точку г до точці гп з будь-якого шляху, не дотичному в точці zg до контуру інтегрування. Вичерпна рішення цих питань читач може знайти в наших книгах Інтеграл Cauchy (Наукові записки Саратовського університету, 1918), а також Граничні властивості однозначних аналітичних функцій (вид.
Об'ємні властивості мастила втрачають своє значення, і основну роль набувають властивостей граничного шару. Від них залежить дуже важливий експлуатаційний показник антифрикційних мастил - жирність або мастильна здатність і важлива для захисних і герметизуючих мастил липкість. Граничні властивості мастил відносяться до числа найменш вивчених.
Основні факти, які ми для цього завдання встановимо, можуть бути отримані також для будь-якої однозв'язної області з досить гладкою кордоном. Більш того, вони можуть бути отримані з теорем, доведених для кола, за допомогою конформного перетворення. Ми не можемо в нашому курсі на такому перенесенні зупинятися, тому що в нашому розпорядженні немає тих тонких теорем про граничні властивості конформних перетворень, які для цього перенесення потрібні.