А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


У-функція

У-функції виводяться наступні властивості дихромату.

Стандартні зразки для визначення в'язкості руйнування. У-функції), що дозволяє прямо по навантаженню, що прикладається до зразка, розрахувати параметр К-Основний змінною величиною привиготовленні зразків є відношення довжини тріщини а до ширини W. Нижче наведені значення Y у функції atW з Британського стандарту для стандартних зразків на вигин БНИ і зразків УP. Дано також відповідні багаточлени для розрахунку /С.

За допомогою У-функцій такоготипу вдається вирішити багато які практичні задачі, пов'язані з аналізом стійкості нелінійних систем автоматичного управління.

Вперше Х - і У-функції були введені В. А. Амбарцу-мяном[5](Див. також[1]) При вивченні ізотропного монохроматичного розсіювання.Для задач з анізотропним монохроматичним розсіюванням функції X і У були вивчені С. Переважна частина наведених у цьому параграфі співвідношень є простим перенесенням на випадок розсіювання в частотах ліній тих результатів, які були отримані раніше при випромінюваннімонохроматичного розсіювання (див. С. Було б неправильно думати, що специфічні особливості проблем переносу випромінювання в частотах ліній, пов'язані з можливістю зміни частоти при розсіянні, мало позначаються на властивостях Х - і У-функцій. При вивченніасимптотичної поведінки X (z; т0) і В (z; т0) при великих т0 ці особливості виявляються вирішальними. Однак існує велика кількість співвідношень, які справедливі при вельми широких припущеннях про характер взаємодії випромінювання і речовини. Дослідженню такихспіввідношень загального характеру і присвячений головним чином цей параграф.

Нехай /- топологічно інваріантна У-функція.

Крім звичайних характеристик, притаманних У-функціям, діхроматіческое многочлен володіє наступним важливим властивістю.

Функцію ф (h)називають ейлеровой у-функцією.

Через ці перетворення записуються рівняння для Х - і У-функції, які виводяться так само, як і рівняння для Я-функції в разі полубесконечной середовища.

Схематичне уявлення vv. Розподіл параметрів на вхідні х - фактори,вихідні у-функції відгуку і неконтрольовані Wk - шум носить умовний характер і обумовлений метою, що стоїть перед дослідником. Враховуючи, що основним завданням технолога є поліпшення якості своєї продукції при зниженні відходів і втрат, наведемо прикладифакторів, функцій відгуку і шумів у деяких технологічних операціях.

Деякі зустрічаються в досить загальної ситуації Графова функції є У-функціями.

Функція, значення якої визначаються формулою у kx, де у-функція, х-аргумент, ak - постійниймножник, носить назву пряма пропорційність.

Так як теореми, доведені Ляпуновим, не регламентують характер обраної У-функції, то різні варіанти У-функції можуть дати різні умови стійкості для однієї і тієї ж автоматичної системи, але підвсіх випадках прямий метод Ляпунова гарантує достатні умови стійкості.

Для визначення достатніх умов стійкості цієї системи складемо знакоопределенную - негативну квадратичну У-функцію.

Корпускулярно-хвильова двоїстістьвластивостей частинок, що вивчаються в квантовій механіці, і статистичний сенс У-функції, завданням якої визначається стан частинки в просторі, призводять до дуже важливого питання про кордон застосовності понять класичної фізики в мікросвіті. Сама по собі постановкацього питання не повинна викликати подиву. Справа в тому, що і в класичній фізиці деякі звичні поняття в певних випадках мають межі застосування. Наприклад, поняття температури незастосовне до однієї молекулі, поняття про точкової локалізації (про перебування впевній точці) не може бути застосоване до визначення положення в просторі електромагнітної хвилі. Таких прикладів можна було б навести досить багато.

Абсолютно таким же чином Гамільтон отримує і закон збереження моменту кількості руху,розглядаючи інваріантність У-функції щодо нескінченно малих поворотів навколо координатних осей. Що стосується закону збереження енергії, то він, звичайно, міститься в методі характеристичної функції, який був на ньому заснований, але як раз в силу цього він граєособливу роль, так що зв'язок його з однорідністю часу при такому підході залишається в тіні.

Значення цих функцій при v 0 і 1 що входять до асимптотики Х - і У-функцій при доплеровском профілі (у 1/2), є у всіх посібниках з теорії бесселевих функцій, а також підбагатьох довідкових виданнях.

Так як теореми, доведені Ляпуновим, не регламентують характер обраної У-функції, то різні варіанти У-функції можуть дати різні умови стійкості для однієї і тієї ж автоматичної системи, але у всіх випадках прямий методЛяпунова гарантує достатні умови стійкості.

Вище вже говорилося, що В-функцію можна знайти в теорії збурень у вигляді ряду по g те ж саме справедливо і для у-функцій.

Відбувається при наступних умовах: AGv0 - рівновага; - AGV - при переохолодженні; AGV -функція структури і складу що беруть участь фаз; - у-функція складу і будови граничної поверхні між зародком і матрицею.

Підставивши цей вираз для f (t) в загальні рішення для отруйних продуктів поділу, отримаємо відповідні функції часу для реактора зпостійною потужністю, які можна записати через неповну у-функцію.

Pассмотрім тепер абсолютно делокалізованное квантовий стан, таке, що просторовий зсув його взагалі не міняє. Відповідна у-функція задовольняє функціональному рівнянню у (л: а) exp (//(a)) v) /(x), де фаза /(а), як неважко бачити, є лінійною функцією на J. Тому у (х) ехр (ФГ), де вектор р, однозначно визначений станом ш, називається імпульсом частинки в цьому квантовому стані. Скалярний добуток р х вимірюється в планківськиходиницях дії ft і тому є просто дійсним числом.

У загальному випадку це означає, що якщо який-небудь набір функції ff, не задовольняють умовам (1.66), (1.67), і є рішенням системи рівнянь Больцмана, то з dH /dt 0 слід, що хоча б деякі зфункцій fj явно залежать від часу, тобто таке рішення є нестаціонарним. Стаціонарним рішенням відповідає тільки dH /dt 0 і, отже, одержуване з умови мінімуму /У-функції рішення є єдиним, однозначно визначеним і стаціонарним рішеннямсистеми рівняння Больцмана.

Невдале визначення gR може призвести до появи нуля у JR (див. вправу 1), тоді як у голій у-функції нулів немає.

У першому розділі розглянуті методи й алгоритми відділення та уточнення коренів трансцендентних рівнянь зпараметрами. В якості прикладів використовуються рівняння, містять спеціальні функції математичної фізики, серед яких функції Бесселя, еліптичні інтеграли, логарифмічна похідна - у-функції, інтеграли Френеля, інтеграл ймовірності. Підпрограмиобчислення цих функцій можна використовувати як самостійні окремо від підпрограм методів розв'язання рівнянь. У першому розділі показаний спосіб реалізації обчислень з комплексними змінними на різних мовах програмування.

Кругова областьасимптотичної стійкості проточного реактора з перемішуванням (приклад V-2. | Еліптична область асимптотичної стійкості проточного реактора з перемішуванням (приклад V-3. Так як початок координат зазвичай є ізольованим рішенням рівняння v О, то приповерхневому алгебраїчному дослідженні може здатися, що крива v 0 проходить через початок координат навіть тоді, коли насправді цього немає. Застосовуючи таке невірне міркування, можна передчасно відкинути цілком задовільні у-функції, наведені востанньому прикладі.

Теорема Ляпунова відноситься до стійкості положення рівноваги в малому, однак якщо вдається підібрати V-функцію, поверхні рівних значень якої включають в себе початок координат і мають зростаючі по модулю по мірі віддалення від початкукоординат значення С, причому ці поверхні існують в деякій кінцевої області, то можна зробити висновок про асимптотичну стійкість у великому в межах цієї області, якщо dVldt в ній знакоопределена і має зворотний знак з V. Якщо ці умови виконуються у всьомуфазовому просторі, то положення рівноваги асимптотично стійко в цілому. Як і у випадку стійкості в малому, умови, за яких такі У-функції Ляпунова сущеетвуют, є достатніми умовами стійкості.

Схематично кордону області стійкості,отримані різними методами, показані на рис. 5.17. Тут аг і а2 - деякі узагальнені параметри заданої нелінійної системи. Штрихуванням відзначені області стійкості, отримані різними методами. Криві 3 схематично показують приклади кордону, отриманої напідставі прямого методу Ляпунова при різних У-функціях.

Питання, природно, виявився тісно пов'язаним із загальними проблемами існування і поведінки розв'язків систем диференціальних рівнянь. Тому названі вище роботи стикаються з роботами поякісної теорії диференціальних рівнянь (Московська школа теорії стійкості) і по загальній теорії динамічних систем. У підсумку була встановлена ​​оборотність результатів: за наявності F-функції Ляпунова можна зробити певні висновки щодо поведінкитраєкторій механічної системи, і, навпаки, коли траєкторії ведуть себе так, як це випливало б з існування У-функції, остання дійсно існує. Для фактичного побудови F-функцій такі результати виявилися малоефективними, оскільки вониприпускають, як правило, іспольз'ваніе рішень досліджуваної системи рівнянь.

Рівняння стану (I) не є основним в цьому сенсі, так як, щоб отримати з цього рівняння ентальпію, ентропію або летючість, необхідно знати постійні інтегрування, немістяться в рівнянні стану. Для незалежних змінних - щільності і температури - Гіббс показав[14], Що єдиною термодинамічної функцією, з якої можуть бути отримані всі інші, є максимальна робота (ізохорний потенціал) А. Цю функцію називають також вільною енергією Гельмгольца або у-функцією Гіббса.

Величина кроку була обрана таким чином, що система приходила в стан рівноваги приблизно за 20 кроків. Таким чином, були отримані результати, що характеризують як кінетику переходу системи з початкового стану в рівноважний, так і саме рівноважний стан. Контроль равновесности системи проводився незалежно за значеннями функцій розподілу молекул за швидкостями, середньої енергії молекул, внеску поступальних ступенів свободи молекул в /У-функцію Больцмана і константі швидкості хімічної реакції. Всі ці величини брали свої рівноважні значення практично одночасно.

Вперше Х - і У-функції були введені В. А. Амбарцу-мяном[5](Див. також[1]) При вивченні ізотропного монохроматичного розсіювання. Для задач з анізотропним монохроматичним розсіюванням функції X і У були вивчені С. Переважна частина наведених у цьому параграфі співвідношень є простим перенесенням на випадок розсіювання в частотах ліній тих результатів, які були отримані раніше при випромінюванні монохроматичного розсіювання (див. С. Було б неправильно думати , що специфічні особливості проблем переносу випромінювання в частотах ліній, пов'язані з можливістю зміни частоти при розсіянні, мало позначаються на властивостях Х - і У-функцій. При вивченні асимптотичної поведінки X (z; т0) і В (z; т0) при великих т0 ці особливості виявляються вирішальними. Однак існує велика кількість співвідношень, які справедливі при вельми широких припущеннях про характер взаємодії випромінювання і речовини. Дослідженню таких співвідношень загального характеру і присвячений головним чином цей параграф.

Область стійкості, обмежена V. Якщо v позитивно-визначена і v негативно-визначена для всіх х, то система стійка в цілому і не потрібно обмежувати розмір допустимих областей, окреслених контурами v const. Тут немає протиріччя, оскільки результат аналізу Ляпунова залежить від обраної а-функції. Іншими словами, цей спосіб дає достатні, але не необхідні умови стійкості. В розглянутій задачі будь траєкторія, що починається всередині кола, що стосується кривої v 0 повинна бути асимптотично стійка при стаціонарному стані в початку координат. Однак, як показує друга у-функція, траєкторії необов'язково тільки стійкі.