А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Математичне сподівання - випадковий процес
Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення - розкид реалізацій щодосередньої траєкторії.
Випадкові процеси різної внутрішньої структури. Математичне сподівання випадкового процесу може бути постійним або мінятися по I. Для практики важливо також поведінку конкретних реалізацій щодо математичного очікуваннявипадкового процесу. Для випадкового процесу, зображеного на рис. 2.9 б, такої закономірності не проявляється, хоча характер зміни математичного очікування у цих двох випадкових процесів однаковий.
Математичним очікуванням випадкового процесу X (t]називаєтьсяневипадкова функція № X (t), значення якої при кожному значенні //0 параметра /одно математичного ожідшію 1VLY (/0) тієї випадкової величини X (t, яка відповідає етоуу значенню параметра.
Позначимо математичне сподівання випадкового процесу У.
На практиціматематичне сподівання випадкового процесу завжди прагнуть оцінити по досить тривалою, але не нескінченної реалізації.
Очевидно, що математичне сподівання випадкового процесу //(т) дорівнює одиниці.
Таким чином, математичне сподівання випадковихпроцесів в лінійній системі задовольняє тій же системі рівнянь, що і значення функцій у випадку детермінованих процесів. Ці рівняння є лише окремим випадком більш загальних залежностей, які можна записати для щільності ймовірностей довільноїсистеми.
Якщо, наприклад, математичне сподівання випадкового процесу не змінюється в часі, то такий процес відноситься до класу найбільш поширених на практиці стаціонарних випадкових процесів.
Середнє по сімейству функцій або математичнеочікування випадкового процесу являє собою осредненіе значень складових функцій в будь-який фіксований момент часу. Стаціонарний випадковий процес є ергодичним, якщо для нього осреднения по часу рівні осереднені за сімейству функцій.Ергодичність по суті вимагає, щоб кожна вибіркова функція була типовою для всього сімейства (рис. А.
Для простоти припустимо, що математичне сподівання випадкового процесу дорівнює нулю, /І.
В якості оцінюваних величин можуть бути взяті:математичне сподівання випадкового процесу, дисперсія, кореляційна функція.
Можливі форми залежності показника технічного стану у від пробігу /. У, Уп - початкове і граничне значення. Закономірності першого виду характеризують тенденцію змінипараметрів технічного стану (математичне сподівання випадкового процесу), а також дозволяють визначити середні напрацювання до моменту досягнення граничного або заданого стану.
Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу X (t)являє собою математичне сподівання випадкового процесу Z (t), який сам може бути стаціонарним.
Середнє значення х, або, як його називають по-іншому, математичне сподівання випадкового процесу, визначається наступним чином.
Щобпідрахувати ПСР, потрібно провести на діаграмі експлуатаційного приладу лінію математичного очікування випадкового процесу. Якщо процес строго стационарен, то математичне сподівання його постійно й дорівнює середньому арифметичному з ординат процесу.
В основіаналого-цифрових інтегруючих пристроїв лежить визначення математичного очікування досліджуваного процесу по математичному очікуванню модельованого випадкового процесу. Співвідношення між математичним очікуванням моделюється випадкової величини і математичнимочікуванням досліджуваного процесу грунтується на наступному.
Таким чином, при необмеженому збільшенні аргументу т кореляційна функція прагне до квадрату математичного сподівання випадкового процесу.
Таким чином, при необмеженому збільшенніаргументу t кореляційна функція прагне до квадрату математичного сподівання випадкового процесу.
Два з них особливо важливі в додатках і розглядаються найбільш часто; це - математичне сподівання випадкового процесу і його кореляційна функція.
Ансамбль реалізацій Х0 випадкового процесу X (t і його математичне сподівання mx (t. Функцію mi (xt) зазвичай позначають mx (t) і називають математичним очікуванням випадкового процесу. Можна дати наступне формулювання математичного очікування випадкового процесу:математичним очікуванням випадкового процесу M[X ( t) ]називається функція часу mx (t), рівна для кожного значення аргументу t fj математичному очікуванню випадкової величини X (t) в перерізі fi ансамблю її реалізацій.
У літературі при математичному описі процесузношування зустрічаються лінійні та нелінійні моделі, в яких математичне сподівання випадкового процесу описується або многочленом, або експоненціальним рівнянням.
Переважна більшість додатків не вимагає знання цих розподілів і засноване нахарактеристиках другого порядку - математичному очікуванні випадкового процесу і кореляційної функції.
Умовне середнє рх може існувати, якщо w (zx) не існує, наприклад, математичне сподівання випадкового процесу існує, хоча функціоналймовірності для нього побудувати не вдається. Величина рх (х) характеризує середні (на безлічі реалізацій суміші) втрати при кожному значенні повідомлення. Якщо про апріорному розподілі відсутні всякі припущення, то характеризувати втрати на безлічі повідомленьнеможливо і рх є єдиним критерієм для порівняння систем.
Для створення аналого-цифрового інтегруючого пристрою використовується один з методів Монте-Карло, а саме, визначення математичного очікування досліджуваного процесу з математичногоочікуванню модельованого випадкового процесу. Зв'язок між математичними очікуваннями цих величин грунтується на наступному співвідношенні.
У розглянутому випадку (рис. 4.12) статистична міра (випадкова величина у (t на виході ГСП) має таку щільністьрозподілу, що здійснюється цифрове вимір математичного очікування випадкового процесу х (t) або величини постійної вхідної дії. Якщо потрібно вимірювати в цифровій формі середні значення різних функцій від вихідного процесу (наприклад,величину другого моменту), то статистична міра повинна мати розподіл ймовірностей, відмінне від рівномірного закону.
Представляє собою статичну помилку АPУ, зазвичай багато - менше Е3 то середнє значення випадкового процесу на виході можна наближеновважати постійним і рівним добутку коефіцієнта посилення приймача а математичне сподівання випадкового процесу на вході в тому діапазоні потужностей вхідного сигналу або перешкод, у якому систему АPУ працює нормально. Як буде ясно з подальшого, прирозгляді радіолокаційних стежать вимірників (див. гл. АPУ падає крутість дискримінаційної характеристики еквівалентної стежить системи.
Функцію mi (xt) зазвичай позначають mx (t) і називають математичним очікуванням випадкового процесу. Можна дати наступнуформулювання математичного очікування випадкового процесу: математичним очікуванням випадкового процесу M[X ( t) ]називається функція часу mx (t), рівна для кожного значення аргументу t fj математичному очікуванню випадкової величини X (t) в перерізі fi ансамблю її реалізацій.
Однак (наприклад, при рішенні рівнянь руху) ми постійно переходимо від одних випадкових процесів до інших, у тому числі різними нелінійними перетвореннями. О, так що можливість ненульового математичного очікування випадкового процесу потрібно враховувати.
Функцію mi (xt) зазвичай позначають mx (t) і називають математичним очікуванням випадкового процесу. Можна дати наступне формулювання математичного очікування випадкового процесу: математичним очікуванням випадкового процесу M[X ( t) ]називається функція часу mx (t), рівна для кожного значення аргументу t fj математичному очікуванню випадкової величини X (t) в перерізі fi ансамблю її реалізацій.
Чим вище порядок п, тим повніше описуються статистичні властивості випадкового процесу. Однак практично доводиться обмежуватися найбільш простими законами розподілу (одновимірним і двовимірним), а також числовими характеристиками, серед яких найбільш поширені математичне сподівання, дисперсія та кореляційна функція. Математичним очікуванням випадкового процесу X (t) називають невипадкову функцію часу тх (t), значення якої в кожен момент часу t дорівнює математичному очікуванню відповідного перетину випадкового процесу.
Позначимо математичне сподівання випадкового процесу У.
Не можна не відзначити, що різниця в методиці аналізу процесу зношування, про яку йшла мова вище, лише удавана. Кожна окрема реалізація випадкового процесу являє собою випадкову криву[4], Однак загальні закономірності процесу характеризуються невипадковими функціями часу. Однією з таких невипадкових функцій є математичне сподівання випадкового процесу.
Величина витрати фаз, розрахована за формулами (38), (39) і (40), не є істинним витратою. Щоб отримати справжнє значення витрати, потрібно вибрати час інтегрування нескінченно великим, що неможливо. Тому завдання визначення оптимальної програми вимірювання витрати фаз газорідинного свердловинного потоку полягає в розрахунку часу інтегрування, що забезпечує допустиму похибку вимірювання. Істинна величина середньої витрати фази дорівнює математичному очікуванню випадкового процесу витрати компоненти потоку.
Випадкові процеси різної внутрішньої структури. Математичне сподівання випадкового процесу може бути постійним або мінятися по I. Для практики важливо також поведінку конкретних реалізацій щодо математичного очікуваннявипадкового процесу. Для випадкового процесу, зображеного на рис. 2.9 б, такої закономірності не проявляється, хоча характер зміни математичного очікування у цих двох випадкових процесів однаковий.
Математичним очікуванням випадкового процесу X (t]називаєтьсяневипадкова функція № X (t), значення якої при кожному значенні //0 параметра /одно математичного ожідшію 1VLY (/0) тієї випадкової величини X (t, яка відповідає етоуу значенню параметра.
Позначимо математичне сподівання випадкового процесу У.
На практиціматематичне сподівання випадкового процесу завжди прагнуть оцінити по досить тривалою, але не нескінченної реалізації.
Очевидно, що математичне сподівання випадкового процесу //(т) дорівнює одиниці.
Таким чином, математичне сподівання випадковихпроцесів в лінійній системі задовольняє тій же системі рівнянь, що і значення функцій у випадку детермінованих процесів. Ці рівняння є лише окремим випадком більш загальних залежностей, які можна записати для щільності ймовірностей довільноїсистеми.
Якщо, наприклад, математичне сподівання випадкового процесу не змінюється в часі, то такий процес відноситься до класу найбільш поширених на практиці стаціонарних випадкових процесів.
Середнє по сімейству функцій або математичнеочікування випадкового процесу являє собою осредненіе значень складових функцій в будь-який фіксований момент часу. Стаціонарний випадковий процес є ергодичним, якщо для нього осреднения по часу рівні осереднені за сімейству функцій.Ергодичність по суті вимагає, щоб кожна вибіркова функція була типовою для всього сімейства (рис. А.
Для простоти припустимо, що математичне сподівання випадкового процесу дорівнює нулю, /І.
В якості оцінюваних величин можуть бути взяті:математичне сподівання випадкового процесу, дисперсія, кореляційна функція.
Можливі форми залежності показника технічного стану у від пробігу /. У, Уп - початкове і граничне значення. Закономірності першого виду характеризують тенденцію змінипараметрів технічного стану (математичне сподівання випадкового процесу), а також дозволяють визначити середні напрацювання до моменту досягнення граничного або заданого стану.
Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу X (t)являє собою математичне сподівання випадкового процесу Z (t), який сам може бути стаціонарним.
Середнє значення х, або, як його називають по-іншому, математичне сподівання випадкового процесу, визначається наступним чином.
Щобпідрахувати ПСР, потрібно провести на діаграмі експлуатаційного приладу лінію математичного очікування випадкового процесу. Якщо процес строго стационарен, то математичне сподівання його постійно й дорівнює середньому арифметичному з ординат процесу.
В основіаналого-цифрових інтегруючих пристроїв лежить визначення математичного очікування досліджуваного процесу по математичному очікуванню модельованого випадкового процесу. Співвідношення між математичним очікуванням моделюється випадкової величини і математичнимочікуванням досліджуваного процесу грунтується на наступному.
Таким чином, при необмеженому збільшенні аргументу т кореляційна функція прагне до квадрату математичного сподівання випадкового процесу.
Таким чином, при необмеженому збільшенніаргументу t кореляційна функція прагне до квадрату математичного сподівання випадкового процесу.
Два з них особливо важливі в додатках і розглядаються найбільш часто; це - математичне сподівання випадкового процесу і його кореляційна функція.
Ансамбль реалізацій Х0 випадкового процесу X (t і його математичне сподівання mx (t. Функцію mi (xt) зазвичай позначають mx (t) і називають математичним очікуванням випадкового процесу. Можна дати наступне формулювання математичного очікування випадкового процесу:математичним очікуванням випадкового процесу M[X ( t) ]називається функція часу mx (t), рівна для кожного значення аргументу t fj математичному очікуванню випадкової величини X (t) в перерізі fi ансамблю її реалізацій.
У літературі при математичному описі процесузношування зустрічаються лінійні та нелінійні моделі, в яких математичне сподівання випадкового процесу описується або многочленом, або експоненціальним рівнянням.
Переважна більшість додатків не вимагає знання цих розподілів і засноване нахарактеристиках другого порядку - математичному очікуванні випадкового процесу і кореляційної функції.
Умовне середнє рх може існувати, якщо w (zx) не існує, наприклад, математичне сподівання випадкового процесу існує, хоча функціоналймовірності для нього побудувати не вдається. Величина рх (х) характеризує середні (на безлічі реалізацій суміші) втрати при кожному значенні повідомлення. Якщо про апріорному розподілі відсутні всякі припущення, то характеризувати втрати на безлічі повідомленьнеможливо і рх є єдиним критерієм для порівняння систем.
Для створення аналого-цифрового інтегруючого пристрою використовується один з методів Монте-Карло, а саме, визначення математичного очікування досліджуваного процесу з математичногоочікуванню модельованого випадкового процесу. Зв'язок між математичними очікуваннями цих величин грунтується на наступному співвідношенні.
У розглянутому випадку (рис. 4.12) статистична міра (випадкова величина у (t на виході ГСП) має таку щільністьрозподілу, що здійснюється цифрове вимір математичного очікування випадкового процесу х (t) або величини постійної вхідної дії. Якщо потрібно вимірювати в цифровій формі середні значення різних функцій від вихідного процесу (наприклад,величину другого моменту), то статистична міра повинна мати розподіл ймовірностей, відмінне від рівномірного закону.
Представляє собою статичну помилку АPУ, зазвичай багато - менше Е3 то середнє значення випадкового процесу на виході можна наближеновважати постійним і рівним добутку коефіцієнта посилення приймача а математичне сподівання випадкового процесу на вході в тому діапазоні потужностей вхідного сигналу або перешкод, у якому систему АPУ працює нормально. Як буде ясно з подальшого, прирозгляді радіолокаційних стежать вимірників (див. гл. АPУ падає крутість дискримінаційної характеристики еквівалентної стежить системи.
Функцію mi (xt) зазвичай позначають mx (t) і називають математичним очікуванням випадкового процесу. Можна дати наступнуформулювання математичного очікування випадкового процесу: математичним очікуванням випадкового процесу M[X ( t) ]називається функція часу mx (t), рівна для кожного значення аргументу t fj математичному очікуванню випадкової величини X (t) в перерізі fi ансамблю її реалізацій.
Однак (наприклад, при рішенні рівнянь руху) ми постійно переходимо від одних випадкових процесів до інших, у тому числі різними нелінійними перетвореннями. О, так що можливість ненульового математичного очікування випадкового процесу потрібно враховувати.
Функцію mi (xt) зазвичай позначають mx (t) і називають математичним очікуванням випадкового процесу. Можна дати наступне формулювання математичного очікування випадкового процесу: математичним очікуванням випадкового процесу M[X ( t) ]називається функція часу mx (t), рівна для кожного значення аргументу t fj математичному очікуванню випадкової величини X (t) в перерізі fi ансамблю її реалізацій.
Чим вище порядок п, тим повніше описуються статистичні властивості випадкового процесу. Однак практично доводиться обмежуватися найбільш простими законами розподілу (одновимірним і двовимірним), а також числовими характеристиками, серед яких найбільш поширені математичне сподівання, дисперсія та кореляційна функція. Математичним очікуванням випадкового процесу X (t) називають невипадкову функцію часу тх (t), значення якої в кожен момент часу t дорівнює математичному очікуванню відповідного перетину випадкового процесу.
Позначимо математичне сподівання випадкового процесу У.
Не можна не відзначити, що різниця в методиці аналізу процесу зношування, про яку йшла мова вище, лише удавана. Кожна окрема реалізація випадкового процесу являє собою випадкову криву[4], Однак загальні закономірності процесу характеризуються невипадковими функціями часу. Однією з таких невипадкових функцій є математичне сподівання випадкового процесу.
Величина витрати фаз, розрахована за формулами (38), (39) і (40), не є істинним витратою. Щоб отримати справжнє значення витрати, потрібно вибрати час інтегрування нескінченно великим, що неможливо. Тому завдання визначення оптимальної програми вимірювання витрати фаз газорідинного свердловинного потоку полягає в розрахунку часу інтегрування, що забезпечує допустиму похибку вимірювання. Істинна величина середньої витрати фази дорівнює математичному очікуванню випадкового процесу витрати компоненти потоку.