А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Шуканий куля

Шуканий куля стосується трьох площин: ABC, ACD і даної січної площини, які утворюють бокову поверхню трикутної призми. Тому велика окружність кулі вписана в перпендикулярне перетин цієї призми. Отже, радіус г кулідорівнює радіусу кола, вписаною А в трикутник MNK (рис. 211), де М - середина ребра АС.

Нехай тепер шуканий куля перетинає обидва даних кулі так, що шніі перетину служать великими колами на даних кулях.

Центром шуканого кулі буде точка перетину осіданої окружності з площиною, перпендикулярної до відрізка AT і проходить через його середину, В цьому випадку задача має один розв'язок.

Отже, шуканий куля 2 (або Y) повинен перетинати куля S під кутом, суворо рівним а (або Id-а), і бути ортогональним до куль So, So і So. Можнапоказати і назад, що всякий куля, що задовольняє цим останнім умовам, буде задовольняти і умовам початкової завдання. Таким чином, ми приходимо до задачі III, вирішеної вище.

Отже, шуканий куля повинна перетинати певний куля Slt концентричний з S, підпевним кутом.

Отже, центр шуканого кулі лежить на лінії перетину D0 цих обох площин.

Припустимо, що лінії перетину шуканого кулі з першими двома з даних куль будуть великими колами на шуканому кулі. Геометричне місце точок О (якщо воно існує і не звертається в точку) являє собою коло, по якому радикальна площину перших двох даних куль перетинає кулю, аналогічний розглянутому вище кулі 5 і відповідний третьому і першому (або другого) з даних куль.

Назад,всяка точка О площиніPслужить центром шуканого кулі.

Таким чином, ми приходимо до наступного побудови центрів шуканих куль.

Назад, всяка точка цієї кулі служить центром одного з шуканих куль.

Якщо дві дані окружності лежать в одній площині,то ця площина замінює шуканий кулю.

ТочкаPповинна бути, в силу сказаного вище, полюсом площині BSC щодо шуканого кулі. Якщо тому точкиPі /7 лежать по різні сторони від О або якщо одна з них збігається з ПРО, то шуканий куля не існує.

Побудуватипроекції кулі радіуса г 20 мм, дотичного до даного кулі, якщо центр шуканого кулі лежить на прямій АВ (фіг.

Побудувати проекції кулі радіуса г 20 мм, дотичного до даного кулі, якщо центр шуканого кулі лежить на прямій АВ (фіг.

. Зворотно, всяка точка,рівновіддалена від площин чотирьох граней тетраедра, служить центром одного нз шуканих куль. Таким чином, задача зводиться до відшукання точки, рівновіддаленою від площин чотирьох граней тетраедра.

Через точку А проводимо площинуP, Перпендикулярну допрямий D0 на якій повинен лежати центр шуканого кулі (рисунок

Припустимо, що лінії перетину шуканого кулі з першими двома з даних куль будуть великими колами на шуканому кулі. Геометричне місце точок О (якщо воно існує і не звертається в точку)являє собою коло, по якому радикальна площину перших двох даних куль перетинає кулю, аналогічний розглянутому вище кулі 5 і відповідний третьому і першому (або другого) з даних куль.

Кожній з восьми площин подоби перших чотирьохданих куль відповідають, взагалі кажучи, два можливі положення центру шуканого кулі, а всього отримуємо таким чином шістнадцять точок.

Pассмотрім тепер яку-небудь одну з цих 16 точок - позначимо її через О - н побудуємо той з шуканих куль 2 який має цюточку своїм центром. Для цього побудуємо небудь кулю 2Б, перетинав кулі S, S2 S & і S під рівними кутами і відповідний обраної площині подоби АБ (таку кулю 26 визначається довільною точкою Д кулі S, і трьома точками куль S2 Ss н S4 антнгомологнческімі точці /4щодо центрів подібності, які лежать в площині а5; СР Так як шуканий куля 2 і куля 26 повинні мати своєю радикальною площиною площину а. О, свідомо перпендикулярна до аг, так як і точка О і центр кулі 2 - лежать на перпендикуляр, опущений з точки /6 на площину а.

Ступінь точки перетину М даній прямій D з площиноюPщодо окружності С дорівнює ступеню тієї ж точки щодо шуканого кулі.

Якщо така пряма існує, то точки її перетину О, і О2 з осями обох кіл будуть центрами шуканих куль, якітаким чином визначаються.

Нехай ВСА, СА Ь і АВС - сторони даного трикутника ABC; x, у і z - радіуси шуканих куль, попарно стосуються один одного (зовнішнім чином) і стосуються плоско - ЕТН ABC відповідно в точках А, В до С.

У тому випадку, коли серед куль, що маютьз кулями S і S загальну радикальну площину, не існує куль, що стосуються шуканого кулі, і те ж має місце для кожної з пар куль S і S, S і S, S і 5 S і S, S і S, описаний спосіб виявляється незастосовним. Це може трапитися лише в тому випадку, коли кожні два з чотирьох данихкуль мають спільні точки.

Знайти геометричне місце центрів куль, що перетинаються з двома даними кулями так, що обидві лінії перетину служать великими колами на даних кулях; великими колами на шуканому кулі; одна з ліній перетину служить великим колом наданій кулі, а інша - великим колом на шуканому кулі.

Кожен з цих куль буде, очевидно, ортогонален н до всіх кулям, що має з 5 і S загальну радикальну площину, а отже, п до шуканого кулі.

Знайти геометричне місце центрів куль, що перетинаються здвома даними кулями так, що обидві лінії перетину служать великими колами на даних кулях; великими колами на шуканому кулі; одна з ліній перетину служить великим колом на даній кулі, а інша - великим колом на шуканому кулі.

Якщо дані окружності маютьрадикальний центр і цей заради-Кальний центр лежить поза однієї (а отже, і поза інший) з даних окружностей, то задача має єдине рішення. Центром шуканого кулі служить радикальний центр /даних окружностей; квадрат його радіуса дорівнює ступеню точки /щодо кожної з дан них окружностей.

Позначимо через С1 лінію перетину обох куль. Центр шуканого кулі лежить на лінії перетину осі даної окружності С і прямої, що з'єднує точку Т з центром даного кулі. Куля, що має цю точку своїм центром іпроходить через точку Т, і буде шуканим.

Якщо дані окружності мають радикальну вісь, то завдання стає невизначеною. За центр шуканого кулі можна прийняти будь-яку точку /радикальної ОСП, зовнішню щодо однієї (а отже, і щодо іншої) зданих окружностей; радіус шуканого кулі визначається, як і вище.

Позначимо через /точку перетину площини Q з площиноюPі площиною даної окружності, через А і В - точки перетину площини Q з даної окружністю С (СР Центр Про шуканого кулі збігається зточкою перетину перпендикуляра, восставленного до площиниPв точці Т, з віссю даної окружності, його радіус дорівнює відрізку Про А. Таким чином, шуканий кулю можна вважати побудованим, так як визначені його центр і радіус.

Покажемо, як побудувати кулі Вг і S2проходять відповідно через окружності С1 і С2 і мають точку U одній зі своїх граничних точок. Центр О]шуканого кулі St повинен лежати на осі кола С, центр О2 шуканого кулі S2 - на осі окружності С2 і пряма Про О2 повинна проходити через точку U. Отже, дляпобудови точок GI і О2 досить провести через точку U пряму, яка перетинає не лежать в одній площині осі окружностей С1 і С2 упр.

При цьому вони належать до одного й того ж з восьми сімейств куль, що стосуються цих куль, відповідному однієї з їхвосьми площин подібності (СР Дійсно, зі сказаного вище випливає, що якщо один з шуканих куль першого сімейства стосується двох з чотирьох куль, скажімо S і S, однаковим (неоднаковим) чином, то і всякий куля першого сімейства стосується їх однаковим (відповідно - неоднаковим) чином.

Покажемо, як побудувати кулі Вг і S2 що проходять відповідно через окружності С1 і С2 і мають точку U одній зі своїх граничних точок. Центр О]шуканого кулі St повинен лежати на осі кола С, центр О2 шуканого кулі S2 - на осіокружності С2 і пряма Про О2 повинна проходити через точку U. Отже, для побудови точок GI і О2 досить провести через точку U пряму, яка перетинає не лежать в одній площині осі окружностей С1 і С2 упр.

Нехай деякий куля I (R) перетинає обидві даніокружності С і С відповідно в точках А, В і А, В під прямим кутом. Зворотно, якщо деяка точка володіє цими властивостями, то вона, очевидно, служить центром одного з шуканих куль.

ТочкаPповинна бути, в силу сказаного вище, полюсом площині BSC щодошуканого кулі. Якщо тому точкиPі /7 лежать по різні сторони від О або якщо одна з них збігається з ПРО, то шуканий куля не існує.

Якщо дані окружності мають радикальну вісь, то завдання стає невизначеною. За центр шуканого кулі можна прийняти будь-яку точку /радикальної ОСП, зовнішню щодо однієї (а отже, і щодо іншої) з даних окружностей; радіус шуканого кулі визначається, як і вище.

Pассмотрім тепер яку-небудь одну з цих 16 точок - позначимо її через О - н побудуємо той з шуканих куль 2який має цю точку своїм центром. Для цього побудуємо небудь кулю 2Б, перетинав кулі S, S2 S & і S під рівними кутами і відповідний обраної площині подоби АБ (таку кулю 26 визначається довільною точкою Д кулі S, і трьома точками куль S2 Ss н S4 антнгомологнческімі точці /4 щодо центрів подібності, які лежать в площині а5; ср Так як шуканий куля 2 і куля 26 повинні мати своєю радикальною площиною площину а. Про, завідомо перпендикулярна до аг, так як і точка О і центр кулі 2 - лежать на Перпендикуляр, опущений з точки /6 на площину а.

Позначимо через /точку перетину площини Q з площиноюPта площиною даної окружності, через А і В - точки перетину площини Q з даної окружністю С (СР Центр Про шуканого кулі збігається з точкою перетину перпендикуляра, восставленного до площиниPв точці Т, з віссю даної окружності, його радіус дорівнює відрізку Про А. Таким чином, шуканий кулю можна вважати побудованим, так як визначені його центр і радіус.

Щоб дати рішення поставленої задачі, придатне і в цьому випадку, поступимо таким чином. Спосіб побудови був вказаний раніше. Аналогічним чином можна побудувати куля SQ, що має з S і 5 загальну радикальну площину і ортогональний до шуканого кулі, а також кулю So, що має з S і S загальну радикальну площину і ортогональний до шуканого кулі.

Щоб дати рішення поставленої задачі, придатне і в цьому випадку, поступимо таким чином. Спосіб побудови був вказаний раніше. Аналогічним чином можна побудувати куля SQ, що має з S і 5 загальну радикальну площину і ортогональний до шуканого кулі, а також кулю So, що має з S і S загальну радикальну площину і ортогональний до шуканого кулі.

Pассмотрім тепер яку-небудь одну з цих 16 точок - позначимо її через О - н побудуємо той з шуканих куль 2 який має цю точку своїм центром. Для цього побудуємо небудь кулю 2Б, перетинав кулі S, S2 S & і S під рівними кутами і відповідний обраної площині подоби АБ (таку кулю 26 визначається довільною точкою Д кулі S, і трьома точками куль S2 Ss н S4 антнгомологнческімі точці /4 щодо центрів подібності, які лежать в площині а5; ср Так як шуканий куля 2 і куля 26 повинні мати своєю радикальною площиною площину а. Про, завідомо перпендикулярна до аг, так як і точка О і центр кулі 2 - лежать на перпендикуляр, опущений з точки /6 на площину а. Якщо точка О лежить всередині кулі 2fl пли якщо побудований, як зазначено, куля 2 не буде перетинати даних куль, то не існує шуканого кулі з центром у вибраній точці О.