А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Обмеженість - оператор

Обмеженість оператора і оцінка його норми легко виходить за допомогою нерівності Коші - Буняковського.

З обмеженості оператора слід (див. пропозицію 1.9 гл.

Про обмеженість оператора сингулярногоінтегріровашя в гельдерових просторах з вагою.

З обмеженості оператора З випливає твердження теореми.

Про обмеженість оператора Немицкого в просторах Орлича, Уч.

Перевіримо обмеженість оператора А.

Про обмеженість сінгулярногочоператора в просторах з вагою.

З інтегральної обмеженості оператора A (t) як і в лемі 3.2 випливає, що взаємний нахил під просторів Е ((/) U (t) h па інтервалі У обмежен.

Умови обмеженості операторів зваженого зсуву в інших просторахпов'язані з більш тонкими характеристиками відображення а й коефіцієнта а й істотно залежать від розглянутих просторів.

З - обмеженості оператора А випливає його Mo-обмеженість. Але в просторі Єї оператор А сильно позитивний щодо тілесногоі нормального конуса К П Єї, а для сильно позитивних операторів рівність Хо - г (А) встановлено.

Таким чином, обмеженість оператора А встановлена.

З і - обмеженості оператора А випливає існування таких позитивних а й 0 що Az 0і і Az аі. Але тодіз теореми 9.2 випливає існування у звуження A i оператора А на підпростір II власного вектора в К. З іншого боку, по другому твердженню теореми 11.1 всі лежать в До власні вектори оператора А повинні бути колінеарні і.

Досліджуємо питання прообмеженості оператора Л -, якщо він існує.

З (33.14) і з обмеженості оператора З 1 випливає, що II ГТ - гп II II З 1 II II tm - tn - Тому якщо tn - фундаментальна послідовність у Я, то і гп також буде фундаментальною послідовністю в Я. Отже, L єпідпростором простору Я.

Відзначимо, що при обмеженості оператора Л 1 коли оператор (Л 1) теж обмежений, якщо система (4.12) мінімальна, то система (4.19) теж мінімальна, тому що (фь ф /) (А-1 Ф1 ф /) ( Ф[, ( А -) ф) б -, откуда видно, что элементы ( А -) образуют систему, биортогональную к системе (4.19), и, следовательно, она минимальна.

В этом параграфе доказывается ограниченность оператора Sr в пространстве Ьи ( Г р) в случае, когда f состоит из конечного числа ограниченных и неограниченных сложных контуров.

Отсюда следует Г - ограниченность оператора V с нулевой Г - гра-ницей для Т - А. V является Г - малым на бесконечности.

Заметим, что условие ограниченности оператора в лемме 2.3 является существенным.

Из леммы 4 Л вытекает ограниченность оператора А В3 в 1р Остается воспользоваться равенством (4.1) - и теорема доказана.

Заметим сразу, что для ограниченности оператора ft, заданного формулой (1.1), не является необходимой раздельная ограниченность оператора сдвига Таи ( х) и ( а ( х)) и оператора умножения на функцию а. Например, оператор Ьи ( х) 2хи ( х2) ограничен в пространстве L2[0, 1], але входить у нього оператор зсуву Ті (х) і (х2) неє обмеженим.

З (1) випливає обмеженість оператора U, так.

На перший погляд, вимога обмеженості операторів здається жорстким і сужающим область застосовності даного подання.

З даного нерівності в силу обмеженості оператораF слід.

Зауважимо, що з нерівності (7.1) і обмеженості оператора W випливає, що скалярний добуток (х, y) w визначає в рівномірно W-позитивному підпросторі звичайне скалярний добуток, топологічно еквівалентна вихідній.

Обмеженістькожного з цих доданків прямо випливає з обмеженості операторів (1.6) - (1.8); при цьому для різних доданків числа сц (Ц і 4 в (1.8) вибираються по-різному.

Покажемо тепер, що умови (8.45) необхідні для обмеженості оператора Гільберта.

Sf - У (ТВ-4 S0) в випливає обмеженість оператора г в просторі L f) - Теорема доведена.

Зауважимо, що у визначенні не висувається вимога лінійності або обмеженості оператора В.

Якщо Е і EJ - нормовані простору, то умова обмеженості оператора А, що діє з Е в Ег, можна сформулювати так: оператор А називається обмеженим, якщо він переводить всякий кулю в обмежену безліч.

У багатьох випадках рішення крайової задачі для диференціального рівняння може бути представлене у вигляді (1.1) і обмеженість оператора А у відповідних функціональних просторах означає гладкість розв'язку крайової задачі та його безперервну залежність від правих частин.

Зауважимо відразу, що для обмеженості оператора ft, заданого формулою (1.1), не є необхідною роздільна обмеженість оператора зсуву Таї (х) і (а (х)) і оператора множення на функцію а. Наприклад, оператор ьі (х) 2хі (х2) обмежений в просторі L2[0, 1], Але входить у нього оператор зсуву Ті (х) і (х2) не є обмеженим.

Підкреслимо, що, на відміну від визначення лінійного функціоналу, це визначення не містить вимоги про обмеженість оператора.

ГОЕ pe), Lp (r, р)) 3 певний рівністю (YyX bf)) Обмеженість оператора - У - перевіряється безпосередньо При цьому використовується те, що похідна dg /dt неперервна на Г і всюди відмінна від нуля.

С є тензорним твором операторів /і J (побудованим за /і О - В силу 4.1 і обмеженості операторів /і J оператор /С обмежений.

У разі k (t, 1) 6 (1) (0 Л1; див. § 5) рівняння (12.1) можна вирішувати в просторі гельдерових функцій Я (1 0); на жаль ядро ??s (/f 1) (1 - О 1 (1PН-1) не 1рііадлежіт класу fl R 1) і, тому , рівняння (8.1) при с, 0 не може бути вирішено в простий-ранства Я (1 0); ці труднощі можна подолати введенням ваги в точці х (див.[366 1), но нужны хорошие теоремы Ьб ограниченности операторов вида (12.1) в таких пространствах.

Ограниченность оператора f была установлена при более слабых предположениях. Покажем, что при этих более слабых предположениях может быть доказана непрерывность оператора f в некотором ослабленном смысле.

Ограниченность оператора Ф в соответствующих пространствах гарантирует наличие такого свойства.

В этих пространствах рассмотрим операторы вида Ьи ( х) а ( х) и ( а ( х)) в предположение что а & С1 ( Х) и что отображение а: Х - - Х биективно и /раз непрерывно дифференцируемо. Для ограниченности оператора b в пространстве Wlp ( X) потребуем дополнительно, чтобы функция а ( х) af ( x) l - llv была ограниченной и продолжалась до непрерывной функции на X. Последнее ограничение существенно, если производная может обращаться в нуль.

Операторы А2 при Re z 0 уже будут неограниченными, если неограничен сам оператор А. Из ограниченности операторов A - z вытекает, что операторы Az замкнуты.

Заметим, что вместо условия сильной непрерывности оператора A ( t) можно рассмотреть менее ограничительное. Из (2.3) тогда следует сначала равномерная по t и s ограниченность оператора U ( t, s) ( 0J s J t T), а затем и его непрерывность по t в норме операторов. Если теперь предположить, что оператор слабо непрерывен, то подынтегральная функция в (2.3) будет также слабо непрерывной и, следовательно, оператор U ( t, s) будет по t слабо дифференцируем и будет удовлетворять уравнению (2.4) в слабом смысле.

Замкнутость оператора означает, что если zn D ( A), zn-z, a Azn - u, то z D ( A) и u Az. Ясно, что при D ( A) Z и линейности и ограниченности оператора А этот оператор замкнут.

В общем случае линейных топологических пространств, как мы уже говорили, из ограниченности оператора не следует его непрерывность.

Эту теорему можно легко вывести с помощью оценок из книги Н.И.Муохелишвили[I ](стр. Теорема 6.1 легко виводиться також з теореми І. І. Привалова 41](стор. Sr в просторі L (f) Дійсно, з обмеженості оператора Sr в Ь (Г) слід.

Умова, що відображення а оборотно, не використовується в першій частині доведення теореми і, значить, якщо ФГБ . У), то оператор b обмежений і у випадку незворотного а. Якщо 1 1 то твердження теореми повністю переноситься на випадок незворотного а. Якщо відображення а не є ін'ектівним і N1 то умова ФГБ f Lq (Y) є необхідним і достатнім для обмеженості оператора Ь, але рівність (1.8) може не виконуватися.