А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Рухомий репер

Рухомий репер, породжений системою криволінійних координат.

Метод рухомого репера дозволяє досить просто вирішити дві цікаві завдання про геодезичних лініях прямо.

Метод рухомого репера Елі Картана. Як мипобачимо, основна проблема, яка ставиться для зануреного різноманіття, це проблема розвідки його інваріантних форм; міркування попереднього параграфа дозволяють нам вказати загальний метод, в загальному випадку довгий і важкий.

Методом рухомого репера автордосліджує довільні різноманіття М в просторі Клейна Л, геометрія якого опісьгоается його групою автоморфізмів. Основна мета цієї рецензії полягає в тому, щоб виявити аксіоматичні основи цієї теорії.

Установка рухомого репераздійснюється за допомогою пристрою, що складається з вваривать в колону корпусу, затискної втулки, запобіжника і ампули з радіоактивним ізотопом. Від надлишкового тиску рідини, яке створюється в момент отримання тиску стоп, діафрагма пристроїпроривається, і поршень розбиває ампулу з радіоактивною рідиною. Відбувається впорскування ізотопів в затрубний простір і на стінку свердловини.

При цьому рухомий репер М, гг, г, ч виходить правим, якщо вважати г першою координатою, р - другий і i 5 - третьою.

Кутову швидкість рухомого репера позначимо І.

Pадіус-вектор початку А рухомого репера, проведений з точки О, позначимо гд.

Тим самим опис задачі щодо рухомого репера є окремим випадком введення узагальнених координат.

Порівняльна простота обчислень для декартових рухомих реперів визначає переважне їх використання при вивченні геометрії образів в евклідових (або в ріманових) просторах.

За полюс приймається початок Про рухомого репера.

Відзначимо, щокомутатор полів рухомого репера в загальному випадку може бути відмінний від нуля. Такий базис векторних полів називається неголономних, на відміну від голономні координатного базису, для якого комутатор полів завжди зникає.

Глави 18 і 19 присвячені методу рухомихреперів і завданням на групах Лі. Визначення та необхідні відомості про групи Лі наведені в главі 18; всі вони легко виводяться з результатів про сімейства векторних полів, отриманих в попередніх розділах.

Позначимо: VQ - швидкість початку рухомого репера, і - кутовушвидкість цього репера, г - радіуси-вектори відносного положення точок системи.

У застосуванні до теорії просторових кривих метод рухомого репера не має, втім, переваг у порівнянні з класичним методом. Однак ми його застосуємо для вправи, атакож для того, щоб зберегти єдність викладу.

Подивимося тепер, яка зручність доставляє застосування рухомого репера в геометричних дослідженнях.

Особливо простий вид приймає ця формула, якщо рухомий репер обраний так, щоб в кожнійточці його локальний базис збігався з локальним базисом репера Френе векторної лінії.

Тут ми приступаємо - до практичного використання методу рухомого репера для вивчення геометрії векторних полів. Перш за все, слід виконати операцію, називанувключення елемента в репер.

Нехай лагранжевого координати задають конфігурацію механічної системи в рухомому репере. Зміни лагранжевих координат ніяк не впливають на стан базисних векторів в абсолютному просторі і характеризують лише відноснерух.

Знайти усі пфаффови різноманіття, для яких можна побудувати рухомий репер - з постійними коефіцієнтами зв'язності.

Фізичний маятник. Як і в § 6.3 початок відліку А рухомого репера розташуємо на осі обертання.

Можна сказати, що в кожнійточці закон перетворення рухомого репера задається своєю ортогональної матрицею.

Підкреслимо, що вектор кутовий швидкості ю розкладається по рухомому реперу.

Теорія кінцевих безперервних груп і диференціальна геометрія, викладені методомрухомого репера.

Теорія кінцевих безперервних груп і диференціальна геометрія, викладена методом рухомого репера.

Теорія кінцевих безперервних груп і диференціальна геометрія, викладені методом рухомого репера.

Існуваннявідносних (або абсолютних) компонент для інфінітезімальних перетворень рухомого репера групи означає, що функції срй задовольняють деяким рівнянням в приватних похідних (які немає потреби виписувати); назад, можна себе запитати, чи будеіснування відносних (або абсолютних) компонент для інфінітезимального перетворення TalTa da (або Ta daTal) мати наслідком існування їх і для безлічі перетворень, таких, як (3.1); але попередньо необхідно уточнити постановку проблеми.

Координатицього тензора будемо обчислювати в кожній точці відносно того локального рухомого репера, який приєднаний до цієї точки.

У тому випадку, коли координати вектора w задані в рухомому репере S, зручніше визначати не стовпці, а рядки матриці оператора А. Щоботримати потрібні диференціальні рівняння, зауважимо, що точка М -, обумовлена ​​кінцем вектора ej, бере участь в складному русі.

Відображення Q: R - R переводить координатне представлення точки в рухомому репере в її координатне представлення у нерухомомурепере.

Теорія кінцевих безперервних груп і диференціальна геометрія, викладені - методом - рухомого репера.

Звідси видно, що якщо відомі проекції всіх трьох роторів на осі рухомого репера, то можна визначити всі дев'ять коефіцієнтів зв'язності.

Уравнейія (3) і (5) називають рівняннями інфінітезі-мального переміщення рухомого репера, пов'язаного з ортогональної криволінійної системою координат. Диференціальні форми СОА і (про (- у називають компонентами Інфіна-тезімального переміщення цього рухомого репера.

Теорема 8.3.1. Функція U служить узагальненої силовий функцією сил інерції, що діють в рухомому репере.

Функції АТ, АПЬ є відносними координатами 1-струменя jj перетину /по відношенню до рухомого реперу R.

Таким чином, зовнішній диференціал,об'єднуючи властивості операторів rot і div, значно полегшує обчислення в рухомому репере.

При цьому слід врахувати, що самі дериваційні формули (1), що розуміються як нескінченно малі зміщення рухомого репера, теж є джерелом евристичнихуявлень, дозволяючи охопити уявою поведінку полів у малих областях.

Повертаючись до рівнянь Гауса - Кодацці (11), зауважимо, що апріорно задані геометричні або кінематичні вимоги на рухомий репер призводять до появи низки аналітичнихспіввідношень між коефіцієнтами зв'язності репера.

Формули (17) і (18) справедливі в будь-якій системі ко - ординат і в тому числі в рухомому репере.

Ця формула представляє градієнт поля у вигляді його розкладання по векторних творів г2 X га, ге X rx, rjX X 2 векторіврухомого репера.

Щоб безперервне сімейство перетворень, які залежать від кінцевого числа параметрів, що володіє зворотними, що містить тотожне перетворення, було ядром групи, необхідно і достатньо, щоб інфінітезімал'ное перетворення йогорухомого репера володіло відносними компонентами.

Pецензіруемая книга переслідує троякую мета: вона містить 1) виклад загальної теорії кінцевих безперервних груп Лі на мові, пристосованому до диференційно-геометричним додаткам, 2) загальний описметоду рухомого репера і 3) додаток цієї теорії до ряду важливих прикладів. Pасположеніе матеріалу продиктовано міркуваннями швидше дидактики, ніж системи, Наприклад, перші приклади глав 1 - 3 про криві в Е3 мінімальних кривих в /Г3 лінійчатих поверхонь в /Г3 (розглянутих як одномірні різноманіття прямих) передують загальної формулюванні. Глави 4 - 91113 14 присвячені групам Лі. У той час як теми 1) і 3) викладені докладно, тема 2), якої ми приділили основну увагу в цій рецензії, лише коротко порушена на початку глави 10 із точки зору груп перетворенні, а на початку глави 12 - з абстрактної точки зору. В обох главах далі йдуть програми: криві на афінної і проективної площинах і довільні поверхні в Е, В останньому прикладі - єдиному, в якому розглядаються різноманіття більш ніж одного виміру, - заходить мова про умови інтегрованості; хоча їх роль в теорії груп Лі широко обговорюється , загальна формулювання цих умов як невід'ємної частини теореми існування в теорії репера опущена.

Зауважимо, що в прямокутній декартовій системі координат напрями векторів е, е%, Е9 не залежать від точки, в якій вони побудовані; можна сказати, що всі положення рухомого репера виходять з якогось одного його положення за допомогою паралельного перенесення.

Представити задачу теорії поля в криволінійних координатах означає перерахувати всі скалярні величини, що входять в задачу, відповідно до (4.23) в координатах ь ьз, з, а векторні величини розкласти по рухомому реперу еь в2 вз.

Перш за все, слід виділити особливі точки векторного поля, дати їх класифікацію та дослідити будову поля поблизу особливих точок. Тут теж може допомогти рухомий репер, як буде показано в наступному параграфі.

У книзі викладені також основи тензорного аналізу, який будується спочатку в прямокутних декартових, а потім-у криволінійних ортогональних системах координат. При етогл використаний метод рухомого репера, який, як нам здається, дає можливість найбільш просто ввести абсолютну диференціювання тензорів і коваріантного похідні.

Уявімо собі тепер, що рухомий репер заданий таким чином, що вектори et можна визначити, знаючи тільки векторне поле і.

Зауважимо, що ранг сферичного відображення в загальному випадку дорівнює двом. Якобіева матриця цього відображення в рухомому репере має вигляд (4.8) толь - KQ без останнього рядка, так як область G відображається в двовимірну сферу. Критичні точки сферичного відображення - це точки, в яких вектор s звертається в нуль.

На відміну від головної мети методу рухомого репера - побудови Каноничі.

Швидкість va руху точки по абсолютній траєкторії називається абсолютною швидкістю. Швидкість vr руху точки по відношенню до рухомого реперу S називається відносною швидкістю.