А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Норма - елемент

Норма елементу су з К в Q є тоді деякий ненульовий ціле раціональне число.

Нехай норма елемента /е V дорівнює нулю.

Тут норма елемента береться з урахуванням того конкретного простору керуючих функцій, елементиякого однозначно визначають рішення крайової задачі (класичне або узагальнене), представимое у вигляді ряду Фур'є по власних функціях відповідної задачі Штурма-Ліувілля.

Звичайна та енергетична норми елемента.

Враховуючи, що норми елементів цієїсоюзної системи не обмежені в сукупності, укладаємо, що дана - система елементів ф є слабо мінімальної.

Прийнявши інтеграл енергії за норму елемента в цьому функціональному просторі, ми можемо мислити собі рішення як траєкторію в такому гільбертовомупросторі.

Вираз zz часто називають нормою елемента z відносно К.

Тут через х позначена еквклідова норма елемента х з т-мірного векторного простору.

Наступна теорема показує, що норми елементів слабо збіжної послідовностіобмежені.

Не можна працювати при зносі вище норм дроблять елементів дробарок (броньових плит, молотків); несправності підшипників і пружин натягу щік у щокових дробарок; якому порушенні системи змащення або відсутності її в тертьових вузлах; несправності абовідсутності огородження.

Якщо для мінімальної системи елементів (2.1) норми елементів союзної з нею системи не обмежені в сукупності, то вона слабо мінімальна.

Якщо у квазінормальной системи елементів (2.1) норми елементів союзної з нею системи обмежені усукупності, то вона сильно мінімальна.

Норма проекції не може бути більше норми проецируемого елемента.

Значення норми на елементі х називається нормою елементу х або довжиною.

Як і раніше, покажемо, що норма елемента виданню однозначно визначаєтьсякоефіцієнтами ag і автоморфізмів Tg. Gp така, що jF (&) czGp, кожна підгрупа Gk - є нормальною підгрупою в Gh і кожна фактор-група TkGk /Gh - субекспоненціальна. Для алгебри D рівність & Ф (&) і твердження теореми про ізоморфізм вже доведені, так як група FIсубекспоненціальна.

Однак це нерівність суперечить равностепенно абсолютної безперервності норм елементів АХП.

У разі (i) роль функції ф грає норма елементів, у випадку (І) в якості ф використовується ступінь многочленів.

Відзначимо, що оскількиматриця Грама визначає лише норми елементів системи і кути між ними, то існує нескінченно багато систем елементів, для яких дана матриця Ф є матрицею Грама.

Найпростішим прикладом монотонного функціонала в разі просторів з монотонною нормоює норма елемента. В силу теореми 1.4 монотонним функціоналом на К а є й0 - норма.

Якщо члени ряду (1) суть елементи нек-рого банаховому просторі з нормою елементів -, то ряд (1) паз.

Для завершення індукції залишається довести, що число ат можнавибрати так, що норма елемента (4.12) буде дорівнювати одиниці. Вище вже встановлено, що при ат ф 0 елемент Еш ь а, стало бути, і елемент, укладений в (4.12) в квадратні дужки, не є нульовим.

Доведіть, що якщо лінійний оператор А, що діє в унітарній просторі,зберігає норми елементів, то А - унітарний оператор.

Для цього достатньо, зважаючи на результати роботи[4], Показати, що р є нормою цілого елементу кватерніонів алгебри 21 над Q, розгалуженої тільки в р і оо.

Для завершення індукції залишається довести,що число ccm l можна вибрати так, що норма елемента (412) буде дорівнювати одиниці. Вище вже встановлено, що при xmM Ф0 елемент ет, а, стало бути, і елемент, укладений в (412) у квадратні дужки, не є нульовим.

Для завершення індукції залишається довести, що число ост 1можна вибрати так, що норма елемента (4.12) буде дорівнювати одиниці. Вище вже встановлено, що пріат 1: 0 елемент em l, a, стало бути, і елемент, укладений в (4.12) в квадратні дужки, не є нульовим.

Для завершення індукції залишається довести, що число ат 1 можна вибрати так,що норма елемента (4.12) буде дорівнювати одиниці. Вище вже встановлено, що при am i 0 елемент em i, а, стало бути, і елемент, укладений в (4.12) в квадратні дужки, не є нульовим.

Для завершення індукції залишається довести, що число ат 1 можна вибрати так, що норма елемента(412) буде дорівнювати одиниці.

Дійсно, така система елементів не може бути сильно мінімальної, так як в цьому випадку норми елементів союзної системи як елементи обмеженою матриці повинні бути обмежені в сукупності, що суперечило б умовам теореми.

Звідси випливає, що хр - це проекція елемента х на базисний елемент ер, помножена на норму елемента ер.

Послідовність хп - х1 також буде неубивающей і обмеженою елементом у - xv В силу теореми 1.1 послідовність норм елементів хп - х будеобмеженою, так як вже доведена нормальність конуса К. З повною правильності конуса випливає, що послідовність хп - х сходиться по нормі. Звідси випливає, що і послідовність хп сходиться по нормі.

Для обмеженості матриці Грама (4.3)квазінормальной системи елементів (4.1) необхідна і достатня обмеженість в сукупності знизу числом більше нуля норм елементів союзної з нею системи.

Увігнутість оператора означає, що він містить лише слабкі нелінійності - значення оператора на елементахконуса ростуть повільно при зростанні норм елементів. Опуклість же оператора означає, як правило, що він містить сильні нелінійності. У відповідності з цим рівняння з увігнутими операторами і рівняння з опуклими операторами володіють рядом відмінностей; так, перші близькіза своїми властивостями до відповідних скалярним рівнянням, для других же такій близькості немає: напр.

Вводячи в цьому просторі скалярний добуток за формулою (X, Y) М IXK]Кху і на його основі норму елемента Х У (X, X) УМ X 2 ах, ми перетворюємо простір нормальнорозподілених випадкових величин в лінійне нормоване простір зі скалярним твором. У ньому всяка сходящаяся в собі послідовність сходиться до елементу цього ж простору.

У багатьох лінійних функціональних множинах вдається ввести метрикуспеціальним чином так, що за основне приймається не поняття відстані, а деяке інше - норма елемента.

Для з'ясування деяких питань, наприклад, про коректність задач, зручно у аналізованих класах функцій вводити метрику - відстань між елементами(Функціями) або норму елемента. Таким чином, вводяться в розгляд різні нормовані простору функцій.

Припустимо, що у нас за допомогою якої-небудь ортонормальной системи здійснено взаємно однозначна відповідність між 12 і /2 яке не порушуєлінійних співвідношень в цих просторах і зберігає норму елемента.

Але STO означає, що x - ll /r; таким чином, при підході х до границі безлічі О, причому, зрозуміло, г - 0 норма елемента я 1 необмежено зростає.

Якщо ж система елементів (4.1) сильномінімальна, то матриця Грама союзної з нею системи обмежена і, отже, обмежені в сукупності і елементи головної діагоналі цієї матриці, що є квадратами норм елементів союзної системи.

Для слабкої збіжності цієї послідовності необхідно ідостатньо, щоб: 1) послідовність чисел (f, h) сходилася для всіх елементів h деякої множини М, замикання лінійної оболонки якого є Я; 2) норми елементів /були обмежені.

Елементи t (a) та га (а) називаються відповідно слідом і нормою елемента а.

Усяке Гільбертів простір є банахових. Природно, що всі поняття і властивості, пов'язані з існуванням норми, характерні і для гильбертова простору. Але норма елементів у гільбертовому просторі, що вводиться на основі скалярного твори, володіє специфічними властивостями. Для неї, наприклад, виконуються лема про паралелограмі і теорема Піфагора.

Тоді метрика вводиться природним чином (якщо норма елемента /G С2 позначена символом /2 то метрика р2 в цьому просторі визначається рівністю р2 (/(1), f (2)) 1 /(1) - /(2) II 2 і з її допомогою визначиться поняття безперервної залежності.

А і В з нормою (і, v) ILxB li IL llflU розглянемо підпростір L, що складається з елементів виду w (z, - z), геЛП5 і фактор-простір AxB /L. назад, для будь-якого елемента лгеЛ 5 нари (і, v), що відповідають всіляким уявленням х - UV, утворюють клас суміжності простору АХВ по підпростір L. Далі, з визначення норми (3.2) видно, що норма елемента лгеЛ В дорівнює нормі відповідного класу в фактор-просторі AxB /L. Таким чином, А В ізометрічни AxB /L. Як відомо (див.[3], Зведення результатів, § 5 5), фактор-простір банахових просторах але його підпростір (замкнутому) є банахових просторах і , отже, таким же буде простір А В. Зі сказаного видно, що у випадку, коли ЛП - О, А - В ізометрічни прямому добутку просторів Л і В.

Доказ того, що в цьому включенні має місце знак рівності, вимагає деякої техніки. Важливу роль у доведенні відіграє теорема віддільності (теорема 12), яку ми доведемо нижче. Для її докази нам знадобляться деякі властивості сімейства В, що складається з операторів, сполучених до елементів з В. Отже, В - булева алгебра проекторів, норми яких обмежені тим же числом, що і норми елементів з В. Питання про повноту В (за умови, що В сповнена) з'ясовується в наступних нижче визначенні та лемі.

Говорячи про елементи простору LP, ми будемо ототожнювати між собою функції, які відрізняються один від одного на безлічі заходи нуль. Назвемо еквівалентними між собою дві функції, які відрізняються один від одного на безлічі заходи нуль. Дії над такими класами проводяться за їх представникам. Легко зрозуміти, що результат не залежить від вибору представника класу і що так певний простір . IP є лінійним простором. Крім того, очевидно, що-при визначенні норми рівністю (1.1) ми отримуємо однакову-норму для всіх еквівалентних між собою функцій. Отже, норма елемента простору L - класу еквівалентності - визначається по кожному його представникові.