А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Лефшец

Лефшец, Дослідження стійкості прямим методом Ляпунова, Изд.

Лефшец (Lefschetz Solomon) (1884 - 1972) - американський математик, народився в Москві, з 1924 р. професор Прінстонського університету, член Національної АН США; гл.

Лефшец - людина дужесвоєрідний: у вищій мірі сумбурний, химерний і плутаний, часто мовець навіть дурості (в тому числі, і математичні), але, в той же час, має цілком першокласне і дуже цікаве математичне обдарування і справжні, великі математичні ідеї. Він весьзалежить від свого настрою і враження може виробляти найрізноманітніше і часто абсолютно суперечливе.

Лефшец (Lefschetz Solomon) (1884 - 1972) - американський математик, народився в Москві, з 1924 р. професор Прінстонського університету, член Національної АН США; гл.

Лефшец С, Дослідження стійкості прямим методом Ляпунова.

Так, Лефшец може приїхати тільки в проміжку часу між 1 червня і 1 вересня, так як в кінці вересня він вже повинен бути в Прінстоні.

Аналоги формул Лефшеца про нерухомих точках в теоріїГротендіка, застосовані до групи Галуа алгебраїчного замикання над кінцевим полем, дають по програмі А. Вейля-Тейта гомологічний висновок як теоретико-числовий асимптотики числа рішень задачі про Діофанта-вих порівняннях modp, так і раціональності виникає тут (сильно спрощеного) аналога З-функціїPіману. Важливо, що для різноманіть, що задаються рівняннями з цілими коефіцієнтами, ці гомології дають той же результат, що і звичайні гомології комплексної реалізації, де ті ж рівняння задають комплексне різноманіття.

Слідуючи моделі Лефшеца в топології та ідеям Севери в алгебраічег ської геометрії, побудова кільця перетинів А У для неособого проективного різноманіття зазвичай розбивали на два окремих кроки: (1) розвивали теорію кратностей перетинів (див. зауваження до гл.

При р 1теорема Лефшеца - Ходжа стверджує, що кожен клас з Н1Л (Х), що є образом Н2 (Х, Z), алгебраічен. Це доводиться прямим обчисленням (СР Для р 1 відома гіпотеза Ходжа полягає в тому, що кожен клас з № - р (Х) Г Н2р (Х У) є раціональною комбінацієюалгебраїчних циклів.

У силу цього зауваження Лефшеца[3]про те, що система Попова являє собою загальну систему непрямого управління, не підтверджується.

Іншими словами, асимптотичне число Лефшеца одно log X, за винятком тих випадків, коли вформулою сліду відбуваються скорочення, пов'язані з чергуванням знаків.

Таким чином, асимптотичне число Лефшеца давало б оцінку асимптотики зростання числа періодичних траєкторій, але, можливо, не точну через чергування знаків. Наприклад, нехай f: M - M -довільний дифеоморфізмів, і розглянемо прямий добуток /X 6: М X S1 - М X 51 де 9 - поворот окружності на ірраціональний кут. Тоді /(f X 9) Про і /X 9 взагалі не має періодичних точок. Але /г (/Х9) /& (/), і якщо для f справедливо нерівність (), то f X 6 також задовольняє ційнерівності.

Більш того, якщо число Лефшеца збігу відмінно від нуля, то його абсолютна величина дорівнює абсолютній величині детермінанта М - JV, де М і N позначають матриці, індуковані в Н (Тп виданню відображеннями f ug відповідно. Це одно також числу R (fg) класів ?айдемайстера збіги.

У 1920 - х рр Лефшецом була висунута програма застосування алгебраїчних методів комбінаторної топології до вивчення загальних просторів, розвиток якої було розпочато Віеторісом, П. С. Александровим, Чехом.

Вона являє собою окремийвипадок формули Лефшеца; див. Г л е із е р м а нГн П о н т р я г і н, Пересічення на многовидах, Успіхи математичних наук 2 вип.

У рабі[1]належить деяка модифікація результатів Лефшеца.

Наступний крок полягає в застосуванні формули сліду Лефшеца,тобто, по суті, в перерахуванні нерухомих точок.

Fix (fm) мають однакові індекси Лефшеца.

Послідовності, які реалізуються як глобальні числа Лефшеца ітерацій, описуються[11]теоремою.

Ці факти добре відомі і слідують з теоремиподвійності Лефшеца, див. Спеньер[1], С. Їх легко встановити також досить елементарним безпосереднім міркуванням.

Спочатку відзначимо той більш загальний факт, що число Лефшеца будь ізометрії компактного риманова різноманіття одно ейлерову числурізноманіття її нерухомих точок (СР Дійсно, число Лефшеца будь-якого відображення f компактного різноманіття в себе залежить лише від поведінки відображення f в околі безлічі нерухомих точок.

Для відображення /: S /i - 59 число Лефшеца Л (/, з) одно deg (/) (див.[148, с. Top Si обладает групповой структурой. Следовательно, согласно теореме 3.22 для отображений в тор теорема Кнезера и теорема 5.15 могут быть сформулированы в полной общности.

Другая группа приложений теоремы об индексе связана с С - числами Лефшеца и неподвижными точками. Для автоморфизма С - эллиптического комплекса, являющегося элементом компактной группы автоморфизмов, определяются числа Лефшеца со значениями в KQ ( A) ( 8 С. Они связаны с неподвижными точками при помощи формулы типа Атьи-Лефшеца - Сигала.

Существование периодической точки во всех случаях получается доказательством того, что число Лефшеца некоторой итерации отображения /отлично от нуля.

В работе[25]наведено приклад, який показує, що в загальному випадку число Лефшеца L (B; g) може бути відмінним від нуля.

Я згоден їхати через Ленінград, якщо це необхідно (щоб побачитися з Лефшецем) і якщо ти мене там зустрінеш.

Галуа, обмеженого на групу Ga Foo /Foo),спираються на сильну теорему Лефшеца, теорему Деліньє про чистоту монодроміческой фільтрації і використовують властивості 1 /- функції.

Обчислення індексу псевдодіфференціального оператора з кінцевою групою зрушень зводиться за допомогою формули (20.3) до обчислення чиселЛефшеца для допоміжного G-інваріантного псевдодіфференціального оператора В.

Ми також розглянемо варіанти теореми двоїстості Пуанкаре для різноманіть з краєм; відповідні твердження іноді називають подвійністю Лефшеца.

Для відображенняf: N - tN нільмногообразія в себе N (f) дорівнює абсолютній величині числа Лефшеца.

Теорема 4.19. Нехай /: Мт - Мт - С1 - відображення гладкого компактного різноманіття в себе з необмеженими числами Лефшеца ітерацій.

Мабуть, вперше цей принцип у сучаснійгеометрії використовував Вейль[Weil 2 ]) В 1946 р., хоча вже Лефшец ([Lefschetz 3 ]) Широко використовував цикли на творі різноманіть.

Якщо V - комплексне Непріводімие безліч, то має місце більш сильне твердження, а саме що безліч VW зв'язно (див. Лефшец[1], Стор

Для відображення /: Т - Т всі класи Нільсена відображення f мають однаковий індекс 1 - 1 або 0 і абсолютна величина числа Лефшеца дорівнює числу Нільсена. Більш того, якщо число Лефшеца відмінно від нуля, то його абсолютна величина дорівнює абсолютній величині детермінанта М - /,яка дорівнює числу R (f) класівPАйде-Майстер. Тут М і I позначають матрицю, індуковану відображенням f в Н (Тп 1), і одиничну матрицю відповідно.

Ми можемо припустити, що нестійке розподіл дифеоморфізмів /ориентируемого, так що всі точки збезлічі Fix (/m) мають однаковий індекс Лефшеца (див.[6], стор Дійсно, в іншому випадку дифеоморфізмів іншого нільмногообразія, що накриває /володів би цим властивістю.

Так як /(ж) і g (x, К) - голоморфних функцій, то відповідно до теореми Пуанкаре (див., наприклад,Лефшец[2], Стор Коддінгтон і Левінсон[1], Стор

Якщо V - подконус в Е, це доведено в роботі[Fulton - Lasar-sfeld 3 ], Наслідок 2.2. Доказ крім теорії перетинів використовує конструкції зі статті[Bloch - Gieseker 1 ]і спирається на важку теорему Лефшеца.

Дана задача сходить доПуанкаре[1], Який запропонував загальний підхід для її вирішення. Порівняно недавно Лефшец[1, 2]запропонував скористатися деякою видозміною кронекеровского методу виключення для вирішення сформульованої задачі в загальній постановці.

Для обчислення звичайнихіндексів є, крім загальної формули Атьі - Зінгера, інші підходи і більш явні формули для окремих випадків. Вираз чисел Лефшеца через звичайні індекси дозволяє застосувати для обчислення індексу псевдодіфференціального оператора з кінцевою групою зрушень будьз відомих формул індексу, в тому числі і відмінні від формул Атьі - Зінгера.

Спочатку відзначимо той більш загальний факт, що число Лефшеца будь ізометрії компактного риманова різноманіття одно ейлерову числу різноманіття її нерухомих точок (СР Дійсно, числоЛефшеца будь-якого відображення f компактного різноманіття в себе залежить лише від поведінки відображення f в околі безлічі нерухомих точок.

Для відображення /: Т - Т всі класи Нільсена відображення f мають однаковий індекс 1 - 1 або 0 і абсолютна величина числаЛефшеца дорівнює числу Нільсена. Більш того, якщо число Лефшеца відмінно від нуля, то його абсолютна величина дорівнює абсолютній величині детермінанта М - /, яка дорівнює числу R (f) класівPАйде-Майстер. Тут М і I позначають матрицю, індуковану відображенням f в Н (Тп 1), іодиничну матрицю відповідно.

Знаходяться умови на відображуване простір, що дозволяють обчислити (оцінити) індекс класу Нільсена. У цьому випадку для одержання числа Лефшеца підсумовування (в аналогу теореми 3.4) зручно проводити не по нерухомим точкам, а покласам Нільсена.

А є G-комплекс), то Н](А) будуть G-модулями, і% (А) визначається як елемент кільця характерів групи G. Виявляється при цьому, що теорема про індекс може розглядатися як узагальнення Лефшеца теореми про нерухомих точках, оскільки топологіч. G може бути виражений через індекс звуження символу на підмножину М & С.

У загальному випадку таке кюннетовское розкладання можливо, тільки якщо допускати неалгебраіческіе цикли на X, включаючи нечетномерние класи гомології. Завдання знаходження загальної формули для нерухомих точок в цьому контексті була вирішена Лефшецом ([Lefschetz 1 ], Ср

Паралелізм впадає в очі. Якщо, проте, ми подивимося на (ко) гомологічну інтерпретацію дзета-функції Лефшеца (§ 8.5), то виявимо, що вона повністю руйнується в результаті введення ваг.

Зокрема, D чисельно еквівалентний нулю тоді і тільки тоді, коли його обмеження на будь гіперплоскостей перетин X чисельно еквівалентно нулю. Для неособого комплексного різноманіття (iii) (i) випливає з важкою теореми Лефшеца і теореми про індекс на поверхнях. Еквівалентність (i) про (iv) випливає з теоремиPима-на -PОха для особливих різноманіть.

Інша група додатків теореми про індекс пов'язана з С - числами Лефшеца і нерухомими точками. Для автоморфізмів С - еліптичного комплексу, що є елементом компактної групи автоморфізмів, визначаються числа Лефшеца зі значеннями в KQ (A) (8 С. Вони пов'язані з нерухомими точками за допомогою формули типу Атьі-Лефшеца - Сігала.

Наступне видозміна визначення, скажімо, індексу плоскою замкнутої Жорданових кривих /, більш топологічно і може бути теж легко узагальнено на вищі розмірності. Тоді М М визначає відображення р: /- З, ступінь якого по Брауер (див. Лефшец[3], стор Еквівалентність з попереднім визначенням перевіряється негайно. Оскільки ступінь відображення можна визначити для будь-якої розмірності, ця нова формулювання переноситься на вищі розмірності.

Лефшеца - Хоіфа теоре-м а - теорема, що дозволяє висловити число нерухомих точок безперервного відображення через його Лефшеца число. Так, якщо безперервне відображення /: X - X кінцевого клітинного простору X не має нерухомих точок, то його число Лефшеца L (/) дорівнює нулю. Окремим випадком останнього твердження є Б pay ера теорема про нерухому точку.

Відображення f: S2 - S2 що задається формулою f (z) 2zfc /z fc - 1 для цілого k 2 є безперервним відображенням ступеня k з необмеженими числами Лефшеца ітерацій і тільки двома періодичними точками.