А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Канонічний базис

Канонічний базис, в якому матриця оператора А записувалася б в Жорданових формі (8), взагалі кажучи, не існує, хоча б тому, що характеристичний многочлен оператора А може мати нематеріальні коріння.

Канонічний базис в цьому випадку називається ортогональним.

Канонічний базис g визначений лише з точністю до множника, залежного від j і рівного по модулю одиниці. Тому співвідношення (541) недостатньо для однозначного визначення коефіцієнтів Клебша - Гордана.

Скільки канонічних базисів може мати білінійна форма.

Ні канонічний базис, ні канонічний вигляд квадратичної форми не визначені однозначно. Наприклад, будь-яка перестановка векторів канонічного базису приводить знову до канонічного базису.

Нехайканонічний базис знайдений. Тоді кожне з підпросторів L -, що входять до розкладання (8), само представляється у вигляді прямої суми інваріантних підпросторів, в кожному з яких перетворення задається однією жор-даповой кліткою.

Ні канонічний базис, ніканонічний вигляд квадратичної форми не визначені однозначно. Наприклад, будь-яка перестановка векторів канонічного базису приводить знову до канонічного базису.

Якщо канонічний базис системи ортогонален, то для варіацій операторів еквівалентної системи легковивести відносно жорсткі оцінки.

Побудова канонічного базису, наведене в 7.31 має той недолік, що воно не дає можливості безпосередньо, за елементами матриці Л (/) симетричної білінійної форми А (х у) в заданому базисі /Л Л - /л) вказатикоефіцієнти X - і координати векторів канонічного базису. Метод Якобі, висловлюваний далі, дозволяє знаходити ці коефіцієнти і координати векторів шуканого канонічного базису.

Побудова канонічного базису, наведене в 7.31 має той недолік, що воно недає можливості безпосередньо, за елементами матриці A (f) симетричної білінійної форми А (х у) в заданому базисі /fi fz, - /вказати коефіцієнти X - і координати векторів канонічного базису. Метод Якобі, висловлюваний далі, дозволяє знаходити ці коефіцієнти і координативекторів шуканого канонічного базису.

Його називають канонічним базисом.

Так як канонічним базисом форми (х, у) є будь ортонормальний базис простору і канонічні коефіцієнти форми (х, у) в будь-якому такому базисі всі рівні 1 то в силу 7.61 матрицяoyfc форми А (х, у) в будь-якому ортонормальном базисі збігається з матрицею oj /оператора А, а матриця bfk форми В (х, у) транспонованої стосовно матриці bf оператора В.

Так як канонічним базисом форми (х, у) є будь ортонормальний базис простору іканонічні коефіцієнти форми (х, у) в будь-якому такому базисі всі рівні 1 то в силу 7.61 матриця c - fc форми А (я, у) в будь-якому ортонормальном базисі збігається з матрицею aj /оператора А, а матриця bjk форми В (х , у) транспонованої стосовно матриці fe) оператора В.

Їхоб'єднання дає канонічний базис.

Другий спосіб побудови канонічного базису полягає в наступному.

У разі ортогональності канонічного базису системи коефіцієнти співвідношення (76) представляють собою елементи стовпців матриці С.

Цейбазис називають канонічним базисом або канонічної ланцюжком.

Відзначимо також, що канонічні базиси визначаються і для сім-метрізуемих алгебр Каца-Муді.

Очевидно, що якщо канонічні базиси різних передавальних матриць співпадають, то при відповіднихзамінах змінних матриці одночасно приводяться до канонічних форм. Як і раніше, багатозв'язних система виявляється еквівалентній простій системі з ізольованими каналами.

Питання зводиться до єдиності канонічного базису у симетричного оператора зпопарно різними власними значеннями.

Питання зводиться до єдиності канонічного базису у симетричного оператора з попарно різними власними значеннями.

Матриця білінійної форми у канонічному базисі є діагональною з елементами Лна головній діагоналі.

Для кожної квадратичної функції існує канонічний базис.

Для будь квадратичної форми існує канонічний базис.

Ясно, що в разі канонічних базисів, коли матриці мають велике число нулів і одиниць, реалізаціяспрощується.

У чому полягає метод знаходження канонічного базису і канонічного виду симетричною білінійної форми.

Для будь симетричною білінійної форми існує канонічний базис.

Потрібно збагнути, яка саме нумерація канонічного базисупризводить до цієї теореми. Є два основних способи параметризрвані канонічний базис. Один з Люстіг, інший, логічно було б сказати, по Кашіваре, але у мене таке враження, що Аркадій Беренштейн і я придумали його трохи раніше Кашівари, в 1992 р. Тому другий спосібми будемо називати струнними параметризації.

Доведіть, що якщо білінійна форма має канонічний базис, то вона є симетричною. Чи вірно зворотне твердження.

У кожному з L перетворення А має канонічний базис.

Так -, а /) утворюютьканонічний базис в йг.

Позитивний індекс інерції не залежить від вибору канонічного базису.

Ясно, що базисні вектори е т утворюють канонічний базис щодо осей Про ст

Фактично ми не тільки довели теорему про існування канонічногобазису для квадратичної функції, але і вказали алгоритм, що дозволяє довільний базис простору V перевести в канонічний. Алгоритм цей запропонований в XVIII столітті великим французьким математиком Лаг-Ранжіт. Тому описаний вище метод приведення квадратичної функції доканонічного виду називається методом Лагран-жа. Метод Лагранжа фактично зводиться до методу виділення повних квадратів, описаного в розділі I докази. Якщо ж процес виділення повних квадратів зупиняється на деякому етапі (може бути, першому) зважаючивідсутності ненульових коефіцієнтів на діагоналі, то застосовується допоміжне перетворення виду (28), після якого знову можна застосувати метод виділення повних квадратів.

Безпосереднє доказ рівності (10) у випадку довільних канонічнихбазисів (7) і (9) представляє значні обчислювальні труднощі, тому будуть розглянуті три приватних типу перетворень канонічного базису в канонічний базис, причому для кожного окремого типу перетворення справедливість формули (10) встановлюєтьсядосить легко. На закінчення буде показано, що перехід від довільного канонічного базису (7) до будь-якого іншого канонічного базису (9) виходить шляхом послідовного застосування розглянутих приватних перетворень. Цим інваріантність вирахування 8 будеповністю доведена.

Вид, який приймає квадратична форма в своєму канонічному базисі, називається її канонічним виглядом.

Подивимося тепер, яка матриця оператора А в канонічному базисі.

Для всякої симетричною білінійної форми f на V існує канонічний базис.

Якщо в просторі L для деякого перетворення В існує канонічний базис, то перетворення У нільпотентні і його висота дорівнює числу векторів в самій довгій серії цього базису.

Послідовність дій, які призводять до визначення координат векторів шуканого канонічного базису і чисел К.

Не потрібно, щоб канонічний вигляд квадратичної форми або її канонічний базис визначалися однозначно. Скажімо, при довільній перестановці векторів канонічного базису знову виходить канонічний базис.

Нехай w (L) і F, G позначають канонічний базис я відповідні матриці в точці (А, А) відповідно. Нехай г (г, Z, А, А) позначає єдине рішення системи (3.3.23), отримане з w (L), F і G процедурою, описаною вище.

Ортогональні перетворення самосовмещенія коммутіруют, і, отже, мають загальним канонічним базисом.

Формули (24) дозволяють знайти коефіцієнти білінійної форми у канонічному базисі, не обчислюючи самого базису.

Позначимо через /- число серій довжини /в деякому канонічному базисі перетворення В.

У n - мірному евклідовому просторі всяка симетрична білінійна форма має канонічний базис з взаємно ортогональних векторів.

Ми бачили в 7.33 а, що в афінному просторі ні канонічний базис, ні канонічний вигляд квадратичної форми не визначені однозначно; взагалі кажучи, можна було включити в канонічний базис форми будь-який наперед заданий вектор. У евклідовому просторі і за умови, що розглядаються тільки ортогональні і нормовані базиси, положення інше. Справа в тому, що разом з матрицею квадратичної форми, як ми бачили, перетвориться і матриця відповідного симетричного лінійного оператора; якщо знайдений канонічний базис квадратичної форми, то одночасно знайдений базис з власних векторів симетричного оператора. При цьому коефіцієнти квадратичної форми у канонічному базисі (канонічні коефіцієнти) збігаються з відповідними власними значеннями оператора. Але власні значення оператора А суть корені рівняння let (А - ХЕ) - 0 яке не залежить від вибору базису і інваріантно пов'язано з оператором А. Отже, сукупність канонічних коефіцієнтів форми (Ал, х) визначена однозначно.