А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Єдиність - продовження

Єдиність продовження може бути також доведена без використання відображення.

Єдиність продовження слід, очевидно, з умови щодо S (г, Ьг) і може бути опущена в аксіомах G-простору.

Єдиність продовження випливає з волі представлення (Н, Г) і аксіом гомоморфізму автоматів.

Єдиність продовження може бути також доведена без використання відображення.

Єдиність продовження ср (С) випливає з того, що KI щільна в d втопології Зарисского, а співвідношення (9) - з єдиності.

В обох випадках єдиність голоморфних продовження h на U очевидна, оскільки безліч U зв'язно.

Крім очевидного самостійного інтересу властивості єдиності продовження відіграють важливуроль в деяких теоремах разрешимости для рівнянь в приватних похідних і в деяких інших якісних питаннях. Ми коротко обговоримо це в § 3 відсилаючи за подробицями до літератури.

На такому різноманітті невірна теорема єдиності продовження рішеньдиференціального рівняння, хоча локальна теорема єдиності і вірна.

Ясно, що умови пропозиції 4 забезпечують єдиність продовження.

Тепер виникає важлива проблема, яка полягає в доказі єдиності продовження заходів. У нашомувипадку це може бути зроблено дуже просто за допомогою зведення до єдиності міри Лебега. Останнє означає, що якщо міра[г, определенная на ( 0 1), удовлетворяет 1, 2 и 3 и если[г-мера любого интервала равна его длине, то ц, - обычная мера Лебега.

Теперь возникает важная проблема, заключающаяся в доказательстве единственности продолжения меры. В нашем случае это может быть сделано очень просто посредством сведения к единственности меры Лебега. Последнее означает, что если мера jj, определенная на ( 0 1), удовлетворяет 1, 2 и 3 и если ji - мера любого интервала равна его длине, то ( а - обычная мера Лебега.

Еще до результата Хермандера Кальдерой[1]довів теорему про єдиність продовження, припустивши, що є тільки трансверсально S нульові біхарактерістікі; в цій роботіпсевдодіфференціальние оператори (які тоді називалися сингулярними інтегральними операторами) вперше були успішно застосовані до неелліптіческім рівнянням.

На еліптичні оператори зі скалярним символом поширюється теорема про єдиністьпродовження для еліптичних диференціальних операторів САгЗ - Вона показує, що якщо F або Ф звертаються в нуль на відкритому мноасестве, то вони тотожно дорівнюють нулю.

У випадку систем квазілінійних рівнянь через розривності функції і може бути порушенаєдиність продовження характеристик.

Ця формула однозначно пределяет нормування р на алгебраїчному замиканні Q Поля ЬP: - Єдиність продовження нескладно виводиться з локальної компактності До як конечномерного, векторного простору над Qp: всінорми До над Q, еквівалентні (як і для простору R), а з мультипликативности випливає,, що вони просто збігаються.

Кінцева компактність простору[R X R ]очевидна, так що залишається лише довести єдиність продовження.

Таким чином, доводитьсяпослатися на дві теореми: про лічильної адитивності інтеграла і про єдиності продовження заходів.

Можна показати, що умова (4.4) виконано, якщо G - еліптичний оператор з властивістю єдиності продовження. Для цього потрібно застосувати один результатPауха іТейлора[2]разом з міркуваннями розмірності, використаними в доведенні теореми про локальної розв'язності.

ГЕОДЕЗИЧНИХ геометPИЯ - геометрія метричного простору (G - n ространства), до-рої характеризується одиничністю продовженнягеодезичних ліній, визначених як локально найкоротші.

Слідство 2.9. Для еліптичного оператораPр (x, D) другого порядку з речовим головним символом властивість єдиності продовження виконується для будь гіперповерхні.

Безліч В (а, а)замкнуто, отже, звичайно-компактно, а так як воно містить разом з будь-якими двома точками також і з'єднує їх сегмент, то воно опукло в сенсі Менгера. Єдиність продовження очевидна, бо вона має місце у всьому просторі.

Тоді єдиністьпродовження абсолютного значення з Kv на Kv гарантує, що індуковані абсолютні значення на Е дорівнюють.

За допомогою ураввенія (4.21) і міркувань, що застосовувалися при виведенні співвідношення (3.15), ми укладаємо, що Ф - 0 ва області U. В силу єдиності продовження форма Фзвертається в нуль всюди, так що вуль є регулярним значенням відображення Q.

Два кореня одного і того ж множника g /сполучені над k ((t)), і відповідні їм вкладення поля До поєднані. З теореми про єдиність продовження нормування випливає, що таківкладення індукують однакові нормування на /С.

Нам дано, що ці дві функції збігаються для інтервалів. По теоремі про єдиності продовження запобіжного вони збігаються і для всіх борелевскіх множин В.

Якщо не вимагати отделимости, то різноманіттям будебезліч, отримане з двох прямих R x, R y ототожненням точок з рівними - негативними координатами х, у. На такому різноманітті невірна теорема єдиності продовження рішень диференціального рівняння, хоча локальна теорема єдиності і вірна.

Ясно також, що, взагалі кажучи, продовження може бути не єдиним. Тому становлять інтерес теореми про існування і про єдиності продовження.

Потім ми визначимо геодезичні лінії і доведемо їх існування. Питання, пов'язані з одиничністюпродовження, ми обговоримо в наступному параграфі.

У диференціальної геометрії передумови завжди такі, що лінійний елемент повністю визначає геодезичну; тому продовження рішення може бути виконано тільки єдиним чином. Відповідно цьомунашим останнім постулатом є єдиність продовження. Менгера, в яких продовження локально можливо і єдино, ми будемо називати 0-про-мандрівка. Вони є головним предметом вивчення в цій книзі.

Геодезичні складають центральну темусправжньої книги. Таким чином, нам треба буде додатково ввести деякі постулати продовження; при цьому, щоб отримати цікаву теорію, доведеться зажадати єдиності продовження.

Коші досі не занадто добре зрозуміла, і не ясно, чи єметод карлемановскіх оцінок, використаний тут і в інших викладах, правильним засобом для отримання природних результатів. У всякому разі, у більшості цитованих робіт є деякі результати, не порушені тут, а у Трева[5]є подальшігіпотези на цей рахунок. Навіть у разі аналітичних коефіцієнтів теорема єдиності Хольмгрена не дає вичерпної відповіді; результати про поширення аналітичного хвильового фронту для рішення рівняння р (до, D) і О, належать Сато, Каваї і Кашівара[21 ]і Хермандера[18], Дають умови, при яких має місце єдиність продовження через деякі гіперповерхні S, що не є нехарактерістіческімі. Є також і глобальні ситуації, де можна сподіватися на єдиність продовження, як це має місце припродовженні вперед і назад для рішень параболічних рівнянь.

Коші досі не занадто добре зрозуміла, і не ясно, чи є метод карлемановскіх оцінок, використаний тут і в інших викладах, правильним засобом для отримання природних результатів.У всякому разі, у більшості цитованих робіт є деякі результати, не порушені тут, а у Трева[5]є подальші гіпотези на цей рахунок. Навіть у разі аналітичних коефіцієнтів теорема єдиності Хольмгрена не дає вичерпної відповіді;результати про поширення аналітичного хвильового фронту для рішення рівняння р (до, D) і О, належать Сато, Каваї і Кашівара[21 ]і Хермандера[18], Дають умови, при яких має місце єдиність продовження через деякі гіперповерхні S, неє нехарактерістіческімі. Є також і глобальні ситуації, де можна сподіватися на єдиність продовження, як це має місце при продовженні вперед і назад для рішень параболічних рівнянь.

У самому справі, і рівномірно безперервно при наділення Н і 7/2 правими рівномірними структурами (пропозиція 3) і, отже, триває єдиним чином до відображення та групи GI в G2 рівномірно безперервного щодо правих рівномірних структур цих груп (гл. тим самим перший твердження доведено. Для доказу Другий досить розглянути ізоморфізм v групи Я2 на Hi, зворотний до і, та його продовження v до безперервного подання G2 в Gt; чинності єдиності продовження v і і і v є тотожними відображеннями відповідно в GI і G2 (Teop.

Евкліда і коротко викладеної у творах Арістотеля: спочатку приводяться визначення, постулати і аксіоми, потім формулювання теорем і їх докази. Евклід доводить існування інших об'єктів геометрії (напр. В постулатах затверджується можливість виконання наступних елементарних побудов: 1) через дві точки можна провести пряму; 2) відрізок прямої можна необмежено продовжити; 3) даними радіусом з даної точки можна провести окружність; 4) всі прямі кути рівні між собою (цим забезпечується єдиність продовження прямої); 5) якщо дві прямі, що лежать в одній площині, пересічені третій і якщо сума внутрішніх односторонніх кутів менше суми двох прямих, то прямі перетнуться при необмеженому їх продовженні з того боку, з до-рій ця сума менша. Всі постулати (крім 4-го, к-рий замінюється вимогою, щоб через дві точки проходила єдина пряма) увійшли в якості аксіом в сучасні курси підстав геометрії. Особливо цікава доля 5-го постулату.

У I книзі дані 23 визначення, напр. Крапка є те, що не має частин. Пряма є така лінія, до-раю однаково розташована стосовно всіх своїм точкам. За визначеннями йдуть п'ять постулатів. Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій. З усякого центра всяким розчином може бути описаний коло. Усі прямі кути рівні між собою. Якщо пряма, яка перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менше двох прямих, то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих. Постулати I-III описують найпростіші побудови, к-рие можна здійснити за допомогою циркуля і лінійки. IV постулат забезпечує єдиність продовження прямої. V - знаменитий постулат про паралельних, к-рий ще в давнину намагалися вивести з інших постулатів і аксіом.